一类非自治SIS传染病模型的持续性.pdfVIP

拳 期 ～ 。FH 慧 {URA ! 釜：鲨 一 类非 自治 SIS传染病模型的持续性 桂 占吉 (海南师范学 院 数学系，海南 海 口 571158) 摘 要 ：考虑 了一类 lx)gistic种群增长 的非 自治 SIS传染病模型：这个摸 型的所有参数是与 时间相关的 证 明 了在某些条件下 系统是持续 的，建立 了关于相应周期 系统正周期解 的存在性与 稳定性 的条件 关键词 ：传染病模 型 ；周期 系统 ；持续性 ；周期解 ；稳定性 中图分类号 ：()l7．4 文献标识码 ：A l 引言 我们考虑 了下面具有 Logistic种群增长的非 自治 SIS传染病模型 文=b(t)N(t)一b(t)N(t)x—a(t)xy =a(t)xy—d(t)Y—b(t) (t)Y (1) x(t)+Y(t)= (t)，x(0)+Y(0)∈[0，1) 其中X(t)易感种群的密度 ，y(t)染病者 的密度， (t)表示种群的总密度：假设 出生率和死亡率 相等，b(t)表示 出生率和死亡率 ，d(t)表示 因为传染病而 引起的死亡率，a(t)表示感染率 。我们 在讨论中假设新 出生的种群均不是染病者 ，新 出生的种群部属于 易感染者 ：在 以下讨论 中假 定系统 (1)的参数是与时 间相 关的或是 T周期 函数的：这种假设是更符合 实际的 。例 如，感 染率在夏天更大些 ，在 冬天会更小些 ，下面我们将研究非 自治系统 (1)的持续性 ，进一步当系统 (1)的所有参数均为周期 函数 时，得到系统 (1)存在全局渐近稳定 的周期解。 2 非 自治系统的持续性和某些 引理 在系统(1)里 的总密度 N(t)由x(t)和 Y(t)确定，即N(t)=x(t)+Y(t)，由此我们获得一个 等价的方程 文=b(t)x—b(t)x 一(b(t)+a(t))xy+b(t)Y， 5，=[一d(t)一b(t)Y+(a(t)一b(t))x]Y (2) x(0)+Y(0)∈[0，1) 对于任意一个连续 函数 f(t)，tE [0，+OO)，定义 f：inf{f(t)}，fM：sup{f(t)}，tE [0，+ ∞)。由系统 (1)，下面的引理能被获得。 引理 2．1 R1+={(x，Y)lx≥0，y≥0}是系统(2)的不变集。 引理 2．2 系统(2)的解是一致有界的。 证明 令z(t)=(x(t)，y(t))，S(z(t))=wIx+w2Y是 由S(z(t))：Rz+一R+确定，且wI’W2 是待定的常数，我们有 收稿 日期 ：2000—03一O9 作者简介 ：桂占吉 (9【62一 )，男．黑龙江鸡西人，海南师院数学系教授．硕士，主要从事微分方程和生物数学研究。 18 一盯 一『 桂占吉：一类非 自治 SIS传染病模型的持续性 b(t)w2Y1 +xy[a(t)一b(t))w2一(b(t)+a(t))w1]， ． 其 中al(t)：b(t)+￡，a2(t)=W1．b(t)一w2·d(t)+￡w2，由于系统(2)参数的有界性 ，可 以洽 当 (，u + 地选择 W1，W2使 ((t)一b(t))w2一(b(t)+a(t))wl≤0，易知 。可选 wl：(a(t)一b(t))M，W2 S l1 lI (a(t)+b(t))，根据模型的生态意义，有 wl0，w：0：选择一个正常数 ￡使 a(t)0(i=l， 2)，则我们有 a S+￡s≤xwl(a —b]-x)+y(a —bw2y) (3) 显然，不等式 (3)