一类Hermitian鞍点矩阵的特征值估计.pdfVIP

2015年 2月 计 算 数 学 第 37卷第 1期 Feb．，2015 M ATHEMATICA NUMERICA SINICA Vo1．37．No．1 一 类 Hermitian鞍点矩阵的特征值估计木1) 黄 娜 马昌凤 ) (福建师范大学数学与计算机科学学院，福州350117) 谢亚君 (福建江夏学院数理系，福州350108) 摘 要 本文研究了一类大型稀疏 Hermitian鞍点线性系统 A 三 ( )(X)=(9f--b 系数矩阵的特征值，其中B ∈C 是 Hermitian正定阵矩阵，E ∈C 是列降秩．本文分别给 出了该系数矩阵正特征值与负特征值界的一个估计式，同时通过数值算例验证本文所给出的特征 值界的估计是合理且有效的． 关键词：鞍点问题；Hermitian矩阵；奇异；特征值估计 MR (2000)主题分类：65F10，15A24 1．引 言 考虑大型稀疏Hermitian鞍点线性代数方程组： 兰 ( )()=()三6， c．， 其中B ∈ P是Hermitian矩阵，E∈Cpq列降秩，A∈C ，且 n=P+q， =( ，Y)∈ C ，b= (f，9l)∈C ，及 X，f∈C ，Y，g∈c。． 形如 (1．1)的线性代数方程组广泛应用于如混合有限元近似二阶椭圆问题、计算流体力 学、最小二乘问题、地球物理数据的反演、半导体器件方程、弹性问题或斯托克斯方程等一 系列科学与工程计算领域中．对于求解线性方程组 (1．1)，现已存在许多各种有效的迭代法，譬 如：Uzawa型迭代格式、投影迭代法、零空间迭代法、分裂法、类超松弛迭代法等等． 为了能够快速有效地通过 Krylov子空间法求解 问题 (1．1)，往往需要借助预条件子将方 程 (1．1)进行等价变换，使得预处理之后的方程组的系数矩阵的特征值有好的性质，比如：特征 值比较聚集或者特征值的实部均是正数．为了构造出高质量的预条件子，必须知道问题 (1．1) 系数矩阵A∈c 的特征值的界 [卜引．近几年，也有许多学者致力于方程 (1．1)系数矩阵特 征值界的估计的研究 [1．6-]．在文献 9『]中，白中治等人估计了当B ∈cp 是Hermitian正 定，A∈C ”是非奇异时，矩阵A的特征值的界．在 2013年，白中治研究了当B ∈ P是 2014年 4月 13日收到． )国家 自然科学基金 11201074)资助项 目；福建省 自然科学基金 (2013J01037)资助项 目 )通讯作者：马昌凤，Email：macf@fjnu．edu．cn 1期 黄娜 等：Hermitian鞍点矩阵的特征值估计 93 Hermitian不定矩阵且A∈CnX 非奇异时，矩阵 的特征值的界 [11]．在文献中 [11]，白中治 通过将矩阵B分成非奇异与奇异两类进行讨论．当矩阵B奇异时，白中治借助矩阵 目的零 空间及相空间进行研究．即，令矩阵Ⅳ6与 的列向量分别构成矩阵B零空间与相空间的一 组正交基，令 U ： ＼0Ⅳ060』1／， 则 《R~BRb 0 UAU：1＼0 0 E Rb E Ⅳ6 由于 R~,BRb是非奇异的，从而可以利用 B是非奇异时所给出的结论进行估计．但是，矩阵B 的零空间的一组基并不容易得到． 受前述工作的启发，本文给出当矩阵 B是Hermitian正定阵且矩阵E是列降