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自动控制原理辅导资料十六 主 题：非线性控制系统的辅导文章——相平面分析法、描述函数分析法 学习时间：2013年1月14日－1月20日 内 容： 我们这周主要还是学习课件第8章非线性控制系统的部分内容。希望通过下面的内容能使同学们加深对非线性控制系统的相关知识的理解。 注意：请同学根据老师标注的侧重点选择性学习。 一、相平面分析法相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法，它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用。 该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、斜坡或脉冲信号等)的二阶系统。和为坐标构成的平面。其中系统在某一时刻的状态就成为相平面上的一个点。 相轨迹：在相平面上，由以时间为参变量构成的曲线。相轨迹上的箭头表示时间参量的增大方向。若以一些初始状态作为起始点，在相平面上做出一簇相轨迹，成为系统的相平面图。 图1 相平面图 相平面图的特点 1.相平面图的对称性：相平面图往往是关于原点或坐标轴对称的，它的对称性可以从相轨迹的斜率来判断。 2．除了奇点外，相轨迹和轴垂直相交。 3.系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。 奇点和极限环是相平面法中分析系统性能的两个重要概念，在相平面图中，确定了奇点和极限环的位置与形式，也就确定了各种初始条件下状态的运动过程以及系统的基本性能。 奇点：在相平面上，同时满足和的点，由于 相轨迹的斜率不是一个确定的值，说明通过该点的相轨迹曲线有一条以上，这样的点称为奇点。奇点只分布在相平面的轴上。 极限环:非线性系统所特有的自激振荡现象，在相平面图中则表现为一个孤立的封闭轨迹，称做极限环。其中孤立的封闭轨迹是指相轨迹邻近的相轨迹都不是封闭的，它们都将趋向极限环，并以它为极限，或由极限环开始，逐渐离开。特别指出，并不是相平面内的所有封闭曲线都是极限环。 极限环包括： 1．稳定极限环 2．不稳定极限环 3．半稳定极限环 二、描述函数分析法（了解内容） 描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。描述函数法不受系统阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，在非线性系统分析中得到了广泛的应用。描述函数法的基本原理：当系统满足一定条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，表达形式上类似于线性理论中的幅相频率特性。 为与输入同周期的方波。如图2所示。 图2 2．描述函数 非线性特性在进行谐波线性化后，参照幅相频率特性的定义，建立非线性的等效幅相特性，即描述函数。 把非线性元件输出信号中的一次谐波分量与正弦输入信号的复数比，称为非线性元件的描述函数，其数学表达式为： （1） 式中：为非线性元件正弦输入信号的振幅； 为非线性元件输出信号中一次谐波分量的相位移； 为非线性元件输出信号中一次谐波分量的振幅。 由（1）式可知，非线性元件的描述函数，类似于线性元件的频率特性。因此当非线性特性用其描述函数来表征时，便可以沿用线性系统理论中的频域分析法来研究非线性控制系统。 三、典型例题解析 1.关于相平面法，下面说法错误的是（ ）。 A．相平面法只适用于一阶、二阶系统 B．相平面法仅适用于二阶系统 C．相平面法可以分析稳定性 D．相平面法可以分析系统瞬态响应 2.非线性元件的描述函数类似于线性元件的( )。 A.幅值特性 B.幅频特性 C.斜率特性 D.频率特性 3. 在某一初始状态下，线性系统的零输入响应为单调收敛，若改变初始状态，该线性系统的零输入响应形式为( )。（第十五周思考题答案） A.单调收敛 B.单调发散 C.振荡收敛 D.振荡发散 四、例题解析答案 1. B 2. D 3. A 五、思考题（答案解析请见第十七周辅导资料） 系统中常见的非线性特性，当输入为( )时，其输出一般为同周期的( )。 A.正弦函数，余弦函数 B.正弦函数，非正弦函数 C.余弦函数，正弦函数 D.余弦函数，非正弦函数 第1页 共3页