Mn(C)中的四元数体.pdfVIP

维普资讯 第 13卷 第 1期 山 东 科 学 V0I_13 No．1 2000年 3月 SHANDONG SCIENCE M Br．2000 文章编号 ：1002—4026(2000)01—0005—04 譬 M (c)中的四元数体 一 眯 i|} (山东财政学院基础部 ，山东 挤南 250014) 摘要 ：奉文构造出M。(c)中所有的R一子体 ．并证 明了M．(c)中非交换的R一子伴均与 四元数 ，二：、关 麓 词词幽；矩阵环l；四元数体I域- ’r-- { 。 中国分类号-．磊 —— 文献标识码：A 、 l 基本概念及 引理 。脚 本文用 M (c)表示复数域C上n阶矩阵环，由于M (c)包含R ]={ Ia6R．E为 M．(c)的单位矩 阵)，所 以M。(c)是一个 R一代数。设 A ，Az．…，^曩∈M (c)，用 R[A．A ．-^ 表示由E．A ．A ”，A曩在M．(c)中生成的R一子代数。用R[z]表示实数 域R上的一元多项式环 ，并用Q表示实数域 R上的四元数体 ，即 Q—R[1，f，J．明。 设 A6M．(c)，任取 ，(z)∈R[z]，定义 口(．r)=，[A]，则 口是 R ]到 REA]的同态映 射．若记其核为K，即K= {， )∈R[z]I，()=D)，则K是R ]的一个非零理想。事实 上，由于M (c)作为实数域 R上的线性空间，其维数是 2n。，而 R[A]是M．(c)的一个R一 子线性空间．所以R 【A]的维数≤2 ，因此E，A，A。，…A 线性相关．即存在不全为零的实 数 ， ．嘞，…，口 ．使得 + A+啦A+…+％zA 一D，亦即存在非零多项式， )墨 口。+a,x+n。+…+ zz ，使 ，(A)=0，即， )∈K．而 K显然是R ]的一个理想 ，所 以K是 R[z]的一个非零理想。由于R[z]是一个主理想整环，所以存在首项为 1的多项 式 ^ )∈R ]．使得K一(^)。易证这样的^ )是 由A唯一确定的。 定义 ；设 A6M．(c)，称上述 的多项式 ，^ )为 A的实最小多项式 。 引理 1：设A∈M (c)，则R[A]为M (c)的R一子域当且仅当^ ()为一次或二次不可 约多项式。当^()为一次多项式时，R ]=R[]与实数域R同构；当^‘(z)为二次不可 约多项式时，R[A]与复数域 c同构。 证明；任取 ，()∈R[z]，令 a(力一，(A)．则 ；R ]一R[A]为同态映射 ，它诱导了同 构映射 ：R[z]／(^)一R【A]．而R[ ／(^)是一个域 骨 (，^)为R ]的一个非零素理想 骨 ^ )为R[]的不可约多项式 ，又R[z]中不可约多项式为一次或二次不可约多项式， 收穑 日期 ：]999—05—06 怍者1畸升 ；刘太琳 (1965一)，男 ，山东莱芜^，硬士，讲师 ．从事代数几何方面的研究 维普资讯 山 东 科 学 2000丘 所以R[A]为 M (c)的R子域 茸 (z)为一次或二 不可约多项式。 (1)若 ^ )为一次多项式 ，令 ()一 +d，d∈R，由于 (A)一0，即A+oE=0，亦 即 A一一 ，所以REa3=REE3与实数域 R同构。 (2)若 (z)为二次不可约多项式 ，令 )一 + “+6，且其判别式 A=a一46O， ， 、2 1 由于 ，^(A)一0，即 A +aA+bE一 0，亦 即 (A+号 J一 ÷ ( 一4b)E， (南 (A+号))。一一冒。若记一了 (A+詈)，