Lv空间上的泛函不等式及其应用.pdfVIP

第 28卷 2期 安 敲 师 范 大 学 学 报 (自然科学版) V。1．28No．2 2005年 6月 JournalofAnhuiNormalUniversity (Natural,~cience) Jun ．2005 Lv空间上的泛函不等式及其应用 刘 伟 (安徽师范大学 数学与计算机科学学院，安徽 芜湖 241000) 摘 要：首先将超Poincar6不等式推广到L ()(P为正偶数)空间上，利用该不等式得到 了L () 上紧半群的两个充要条件和一个扰动结果，推广 了[5，8]中的相关结论 ． 关键词 ：泛函不等式；超 Poincar6不等式；紧半群；扰动 中图分类号 ：O177．2 文献标识码 ：A 文章编号 ：1001—2443(2005)02—0142—03 1 引言及主要结论 泛函不等式 (例如Nash，log—sobolev，Poincar6不等式等)在泛函分析、黎曼几何 以及马氏过程等诸多领 域都有广泛的应用_lJ．2000年 ，王风雨_4J首次引入如下超Poincar6不等式来研究半群生成元的本质谱 ．设 (e， (e))是 L ()( 为概率测度)上的对称狄 氏型 ，考虑下述泛函不等式 (f2)≤ rE(f，f)+ (r) (1，1)， rr0， ，E (e) (1) 广 其中r0≥0为常数，：(r0，oo)一(0，oo)是递减函数，(f)全l ．记(L， (L))是狄氏型对应的无穷小 生成元 ，在文[4]中证明了对流形上的椭圆扩散过程和一类跳过程存在 使 (1)成立的充要条件是L的本质 谱包含在 [rff，oo)中．(1)式被称为超 Poincarfi不等式．它包含了所有经典的Poincar6一Sobolev型不等式，见 [5推论 1．1]．这些结果又在 [6，7，8]中被进一步推广 ． 在本文中，我们将 (1)式推广到 L ( 为正偶数)空间上，得到了紧半群的充要条件及扰动结果． 设 (E， ，)为测度空间，P为正偶数，P +qI1=1．(L， (L))为L ()上压缩 C0半群 {P }0的 生成元 ，记 {P }0为其伴随半群 ．考虑下述泛函不等式 (尸)≤ (尸 (一L)，)+3／(r)·IIfII ·，r0， fE (L) (2) 其中Bc L ()，ll，llB 全 sup{l (fg)_．gEB}， ：(0，oo)一 (0，oo)为递减函数． (2)式称为 空间上的超 Poincar6不等式． 定理 1 {P}0为紧半群 (i．e．Vs0，P为紧算子)的充要条件是存在递减函数J9：(0，oo)一 (0，oo) 及 Bc L ()满足 V 0，P：B相对紧，使得(2)成立． (H) 设存在 ￡00，h(￡)为 [0，￡0]上的可积函数 ，使得 tx((Poe)一(一L)Poe)≤h(￡)-tx(尸一(一L)f)， V￡E [0，￡0]． 在上述假设下 ，我们有下面更强的结果 ． 定理2 设 (H)成立，则 {P}≥0为紧半群的充要条件是存在递减函数 及相对紧集B，使得 (2)成立． 注：(i)当P=2时 ，若 L为 自伴算子或流形上的扩散算子且里奇曲率有下界 ，则 (H)成立．所以上述定 理 1和定理 2推广了[8，定理 2．1]的结论． (ii)由[9，定理3．2．1]可知 ，若P=2，则存在 (r)及半紧集 B，使得 (2)式成立等价于存在 0，E L (tx)及函数 (r)，使得下述不等式成立， tx(f2)≤ rtz(，(一L)，)+ (r)-tx( lf1)，r0，fE (L)． 所 以上述定理 1也是 [5]中定理 3．1在 r。=0时的推广 ． 收稿 日期 ：2004— 10—11 基金项 目：安徽省教育厅 自然科学研究项 目(2003KJ165) 作者简介 ：刘伟 (1982一)，男 ，安徽巢湖人 ，硕士研究生． 28卷第 2期