L^2(R^n)上的半正交多小波框架.pdfVIP

中国科学：数学 2014年 第 44卷 第 3期 ：249—262 《中国科学》杂志社 SCIENCECHINA PRESS 2(n)上的半正交多小波框架 杨守志 ，郑贤伟 汕头大学数学系，汕头 515000 E—mail：szyang~stu．edu．cn，09xwzheng~stu．edu．cn 收稿 日期：2013—05—08；接受 日期：2013—07—21； 通信作者 国家自然科学基金 (批准号和广东省自然科学基金 (批准号：$2011010004511和 $2013010013101)资助项目 摘要 本文研究 ( )上伸缩矩阵 满足 ldetAI1的半正交多小波框架．本文得到半正交和严格 半正交框架的一系列性质及刻画．本文证明半正交 Parseval多小波框架与广义多分辨分析 fGMRA) Parseval多小波框架是等价的．特别地，本文利用最小频率支撑 (MSF)多小波框架和小波集，构造若 干半正交多小波框架的例子． 关键词 多小波框架 (严格)半正交多小波框架 小波集 MSC (2010)主题分类 42C15，42C40 1 引言 半正交小波的概念分别是由Auscher[1】．Chui和Wang[2-4]独立引入的，这个研究领域在理论上很 快发展到关于半正交小波框架的研究．目前依然有许多学者继续着这方面的工作，其中以关于Parseval 小波框架的研究最为重要．Paluszyfiski等人 5【】揭示 了半正交紧小波框架与小波维函数之间的关系，并 给出了一个紧小波框架能由多分辨分析 (MRA)构造生成的等价条件．Bakid[6]证明了高维情形下，当 ldetAl：2，A∈ (z)时，GMRAParseval小波框架类与半正交Parseval小波框架类是相互等价的； Bakid[rl同时证明了每个严格半正交 Parseval多小波框架都是 GMRAParseval多小波框架．Liu等 人 8[]对 ldetAl=2，A∈ (z)情形下的半正交 Parseval小波框架进行了刻画．Kim等人 0[]研究了 半正交小波框架与框架多分辨分析的关系．作为形式上最简单的小波，小波集的研究吸引了很多学者 的注意，目前已经有许多相关的文献，如文献 1『015]． 本文研究高维半正交多小波框架的刻画，特别是对于半正交 Parseval多小波框架的刻画．为此， 从频域和时域两方面对半正交多小波框架进行刻画，并给出半正交Parseval多小波框架与 GMRA多 小波框架之问的关系；进而利用高维形式的半正交化过程，给出严格半正交多小波框架的一个等价刻 画：最后，本文给出高维半正交多小波 Parseval框架集的一个等价条件，并利用 己知的一维形式的正 交小波集，构造若干半正交小波框架的例子． 2 基本概念及记号 在讨论 。( )中小波框架时，需要用到两组酉算子：平移算子 (Tkf)()·=_厂(·一 )和伸缩算子 杨守志等：L。( )上的半正交多小波框架 (J[)厂)(．)=ldetAI／。f(A．)，其中A∈Mn(Z)是任意的一个扩张矩阵．扩张矩阵是指 的所有的特征值 的绝对值都大于 1． 定义 1 对于有限集 = {1，… ，L) (肽)，如果函数系 { ，J∈z， ∈z ，l= 1， … ， }满足如下条件： AIIfll≤∑∑ ∑IIf，D ≤BUll。，vf∈L2(”) ／=1J∈Z ∈Z他 则称其为 。( )的一个多小波框架；如果 A=B，则称 为紧多小波框架；如果 A=B=1，则称其 为 Parseval多小波框架．进一步地，如果多小波框架 满足 (Dn ，J[) 。。)=0 对于 1≠J2，Vkl，2∈z，Vz1，12= 1，… ， 成立，则称 是半正交的；如果上述等式对 (Jl，f1) ≠(j2，12)，V 1，2∈z 成立，则称 是严格半正交的．特别地，若函数系 { ，J∈z，尼∈z ，f=1， … ， )构成 L。( )中的一个正交系，则称 是正交的．