电子学院应用物理系王守海.ppt

第三章 量子力学初步 内容： 1、微观粒子的波粒二象性 2 、不确定关系 3、波函数及其物理意义 4、薛定谔波动方程 5、 量子力学问题的几个简例 6、量子力学对氢原子的描述 §3.1 微观粒子的波粒二象性 一、光的波粒二象性 1672年，牛顿，光的微粒说 1678年，惠更斯，光的波动说 19世纪末，光是一种电磁波 20世纪初，光量子 （3）实验解释 晶体结构： 一、不确定关系及其物理意义 1927年，海森堡首先推导出不确定关系： 二、实验验证 例2、束缚粒子的最小平均动能 设粒子被束缚在的r=Δx范围内，则有 例3、电子不能落入核内（原子不能塌陷） Bohr的原子理论不能解释：作加速运动的电子，为什么不辐射能量而落入核内，不确定关系对此作了回答。随着电子离核越来越近，r越来越小。它从原子线度（10-10m)过渡到原子核线度 (10-15m)，由不确定关系知，电子的动量越来越不确定。由 知，电子的平均动能越来越大， 从 ，平均动能从约 ，电子从哪里能得到这样多的能量？没有任何这样的能量来源。 例4、谱线的自然宽度 例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？ 解：由于粒子做一维运动，所以有 由于势能 中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。 方程的解为定态解 因此一维定态薛定谔方程为 1．方程的通解 (1) 所以波函数为零，即 粒子不可能跑到阱外去， (2) 时， ， 方程为 令 二阶齐次微分方程，它的通解为 式中A、B为两常数。 2．常数的确定及能量量子化 根据波函数的标准条件，波函数应连续， ? ，( ？) 当 时， 表明几率处处恒为0，即不存在粒子，这是不可能的。 波函数的归一化： ? 能量是量子化的 3．讨论 (1)能量不能任意取值，束缚在一维无限深势阱中的粒子的能量是量子的。这是由薛定谔方程加上标准条件自然地导出的，不用再做量子化的假定。 (2)波函数的物理意义 处在不同能级的粒子，在势阱中的几率分布不同。 (3)实际意义：金属内的自由电子，可看成在势阱中运动的粒子。 例2 势垒贯穿 粒子受到的势能为： 计算粒子在三个区出现的几率。 粒子具有的能量为E， 解：设粒子在I、II、III区的波函数分别为 ，它们满足的薛定谔方程为： 令 方程的解为： 根据波函数的连续条件和归一化条件可以确定常数，结果如图： 可见，虽然， 粒子仍可以穿过II区进入III区，这种贯穿势垒的效应称为隧道效应。粒子从I区到III区的几率为 扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscopy—STM) STM原理 . 0.1nm, 0.01nm 1986年，宾尼博士和罗雷尔与发明电子显微镜的鲁斯卡获诺贝尔物理学奖。 §3.5 氢原子的量子力学处理 一、氢原子的薛定谔方程 电子在原子核的库仑场中运动： 定态薛定谔方程： 氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系： 氢原子在球坐标下的定态薛定谔方程： 二、分离变量 1． 代入方程，并用 乘以两边： 是一个与 无关的常数。 径向方程： 角方程： 2． 代入方程，并用 乘以两边： 是一个与 无关的常数。 §3.2 不确定关系 ?x表示粒子在x方向上的位置的不确定范围，?px表示在x方向上动量的不确定范围，其乘积不得小于一个常数。 若一个粒子的能量状态是完全确定的，即?E=0 ，则粒子停留在该态的时间为无限长， ?t=? 。 电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出) 电子以速度?沿着y轴射向A屏，其波长为 ，经过 狭缝时发生衍射，到达C屏。第一级暗纹的位置： x方向上，粒子坐标的不确定度为Δx 又 粒子动量的不确定度为 狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝 宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发