2011年高考数学二轮考点专题突破：数形结合思想.docVIP

第四讲　数形结合思想 一、选择题 1．设函数f(x)＝若f(x0)1，则x0的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－2)(0，＋∞) D．(－∞，－1)(1，＋∞) 解析：方法一：因为f(x0)1，当x≤0时，2－x0－11,2－x02，－x01，x0－1；当x00时，x01，x01. 综上，x0的取值范围为(－∞，－1)(1，＋∞)． 方法二：首先画出函数y＝f(x)与y＝1的图象(如图)，解方程f(x)＝1，得x＝－1，或x＝1.由图中易得f(x0)1时，所对应x0的取值范围为(－∞，－1)(1，＋∞)． 答案：D 2．已知函数f(x)＝若f(2－a2)f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1)(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)(1，＋∞) 解析： f(x)＝由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)f(a)得2－a2a，即a2＋a－20，解得－2a1. 答案：C 3．方程sin＝x的实数解的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．以上均不对 解析：分别作出y＝sin和y＝x的图象如图： 由图象知方程的实数解有3个． 答案：B 4．定义在R上的偶函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x[3,4]时，f(x)＝x－2，则(　　) A．f(sin )f(cos ) B．f(sin )f(cos ) C．f(sin 1)f(cos 1) D．ff 解析：由 f(x)＝f(x＋2)知T＝2为f(x)的一个周期，设x[－1,0]，知x＋4[3,4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，画出函数f(x)的图象， 如图所示： sincosff； sincosff； sin 1cos 1f(sin 1)f(cos 1)； sincos?ff. 答案：C 5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C. D. 解析：因数思形，以形助数，从向量的几何意义上来寻求问题的解决途径， (a－c)·(b－c)＝0，(a－c)(b－c)． 如图所示，ACBC，又已知OAOB， O，A，C，B四点共圆，当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为. 答案：C 二、填空题 6．函数f(θ)＝的最大值为________． 解析： 可以与两点连线的斜率联系起来，它实际上是点P(cos θ，sin θ)与点A(－，0)连线的斜率，而点P(cos θ，sin θ)在单位圆上移动，问题变为：求单位圆上的点与A(－，0)连线斜率的最大值．如右图，显然，当P点移动到B点(此时，AB与圆相切)时，AP的斜率最大，最大值为tan BAO＝＝1. 答案：1 7．y＝f(x)＝，若不等式f(x)≥2x－m恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：在平面直角坐标系中作出函数y＝2x－m及y＝f(x)的图象(如图)，由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函数y＝2x－m的图象应总在函数y＝f(x)的图象的下方，因此，当x＝－2时，y＝－4－m≤0，所以m≥－4, 所以m的取值范围是[－4，＋∞)． 答案：[－4，＋∞) 三、解答题 8．不等式x2＋|2x－4|≥p对所有x都成立，求实数p的最大值． 解：构造函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－＋，解不等式f(x)≥g(x)，即确定使函数y＝f(x)的图象在函数y＝g(x)“上方”的点的横坐标x的取值范围，而本题是已知这个范围对一切x成立，求p的最大值． 如图，y＝－＋的图象可以由y＝－的图象的顶点在y轴上下移动而得，满足题目条件的解应为y＝|x－2|的图象在y＝－＋的图象上方的极端情况． 只有一解． －＋＝2－x， 即x2－2x－(p－4)＝0， Δ＝4＋4(p－4)＝0，p＝3. 即p的最大值为3. 9．已知A(1,1)为椭圆＋＝1内一点，F1为椭圆左焦点，p为椭圆上一动点，求|PF1|＋|PA|的最大值和最小值． 解：由＋＝1可知a＝3，b＝，c＝2，左焦点F1(－2,0)，右焦点F2(2,0)．由椭圆定义，|PF1|＝2a－|PF2|＝6－|PF2|， |PF1|＋|PA|＝6－|PF2|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF2|. 如图，由||PA|－|PF2||≤|AF2|＝－＝，知－≤|PA|－|PF2|≤.当P在AF2的延长线上的P2处时，取右“＝”； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“＝”， 即|PA|－|PF2|的最大、最小值分别为，－. 于是|PF1|＋|PA|的最大值是6＋，最小值是6－. 10．已知实数x、y满足不等式组