经院暑期数学建模 层次分析法(AHP).pptVIP

Mathematical Contest in Modeling 层次分析法(AHP)建模 1 层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤 1. 建立层次结构模型 2. 构造成对比较阵(判断矩阵) 3. 计算权向量并做一致性检验 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验 Mathematical Contest in Modeling 层次分析法 4 建立层次结构模型 1 景 色 居 住 旅 途 饮 食 费 用 准 则(x) 层 为实现总目标而采取的各种措施和方案 P1 P2 P3 方 案(y) 层 用于解决问题的各种措施和方案 选择旅游景点 目 标(Z) 层 解决问题的目的 (也叫总目标) Mathematical Contest in Modeling 层次分析法 5 构造成对比较矩阵(判断矩阵) 2 要比较某一层n个因素x1,x2,…,xn对上一层一个因素Z的影响,可从x1,x2,…,xn中任取 xi与xj,比较他们对于Z的贡献(或重要性)大小.按照如下”1~9比例尺度”给xi/xj赋值. 尺度xij 1 xi与xj的影响相同 含 义 3 1,1/2,…,1/9 5 7 9 2,4,6,8 xi与xj的影响稍强 xi与xj的影响强 xi与xj的影响明显地强 xi与xj的影响绝对地强 xi与xj的影响之比在上述两个相邻等级之间 xi与xj的影响之比为上面aij的互反数 Mathematical Contest in Modeling 层次分析法 6 某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住,饮食,旅途5个因素对于目标Z的 比较矩阵如下: 得到: A=(xij), xij0,xji=1/xij 判断矩阵 其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目标Z的重要性之比为1:2.即日认为费用更重要.其他类同. 计算权向量并做一致性检验 3 Mathematical Contest in Modeling 层次分析法 7 利用准则层对目标层的权重做判断矩阵得到一个正互反矩阵 如果一个正互反矩阵A满足 aij.ajk=aik, i,j,k=1,2, … , n 则称A为一致性矩阵，简称一致阵. 一致阵的性质: A的唯一非零特征根为n; A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量. Mathematical Contest in Modeling 层次分析法 8 若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化的特征向量(即分量之和为1)即表示各 因素对上一层因素Z的权向量,各分量即为各因素对于Z的权重! 即欲知各准则的权重值，只需求A对应于特征值n的归一化特征向量。 这是当判断矩阵本身具备严格一致性的时候的求法。实际情况中，判断矩阵未必 严格满足一致性，如旅游的判断矩阵。 判断矩阵的一致性检验 判断矩阵通常是不一致的,但是为了能用它的对应于特征根的 的特征向量作为被 比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围? 1一致性指标 CI=0时A一致; CI越大,A的不一致性程度越严重! 3一致性比率(用于确定A的不一致性的容许范围) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 2随机一致性指标RI 当CR0.1时,A的不一致性程度在容许范围内,此时可用A的特征向量作为权向量! Mathematical Contest in Modeling 层次分析法 10 判断矩阵的一致性检验 Mathematical Contest in Modeling 层次分析法 10 就是准则层（景色等）对目标层的权向量。 在”旅游问题”中已经得到了第2层(准则层)对于第1层(目标层)的权向量,记为 即 用同样的方法构造第3层(方案层)对于第2层的每一个准则的成对比较矩阵,不妨设为: Mathematical Contest in Modeling 层次分析法 11 计算权组合向量并做一致性检验 4 计算组合权向量 为什么是5个？ , 最大特征根 ,以及一致性指标CIk如下表: 计算各 所对应的 权向量