拟双曲轨道的极根伪轨跟踪性.pdfVIP

第31卷第2期 辽宁师范大学学报(自然科学版) Vo1．31 No．2 2008年 6月 Journal of Liaoning Normal University(Natural Science Edition) Jun． 2008 文章编号：1000—1735(2008)02—0141—04 拟双曲轨道的极根伪轨跟踪性 韩英豪， 张广大 (辽宁师范大学数学学院，辽宁 大连 116029) 摘 要：把伪轨跟踪性引理推广到具有弱双曲性的d一极根伪轨上．设M是 一维C 闭的光滑流形，，是M上的微 分同胚，考虑，所诱导的离散动力系统．我们将证明微分同胚，在拟双曲轨道上的极限伪轨跟踪性．假设A是，的闭 不变集合，并且A具有连续不变分解T^M—E④F，即D =El( )，D，F 一FI(小则对任意 ∈(0，1)，存在L0， do0，使得对任意的dE(0，do]，任意相对于分解 TaM=E④F的 一双曲d一极限伪轨{zf，m)饕… 都存在一点 xEM，zd一极限跟踪{z ，m)饕… 关键词：拟双曲轨道；拟双曲极限伪轨；根限伪轨跟踪性 中图分类号：O189 文献标识码：A 1 引言 在动力系统理论中双曲集合的概念起着重要的作用．双曲集合具有很好的稳定性质，而伪轨跟踪性更是在稳定性理 论研究中扮演着重要的角色．数十年来在双曲集上的伪轨跟踪性的研究已经得到了很多重要成果．随着研究的深入和实 际应用的需要，人们给出了不同的双曲性和伪轨跟踪性[ ．2002年甘少波在文献[4]中给出了比双曲集合更一般的概 念一拟双曲轨道的概念，并得到了拟双轨道的广义伪轨跟踪定理，极限伪轨跟踪性的概念是 1997年T．Eiroa等人在文 献[53中给出的．从数值计算的角度来看，所谓根限伪轨跟踪性是指当用某种数值计算方法来近似地刻划某一动力系统， 并且计算精度逐步提高(即随着时间趋于无穷单步误差趋于零)时，通过数值计算得到的轨道必然趋近于一条真正的轨 道．这个概念反映了一个动力系统的渐近稳定性．众所周知，具有伪轨踪性的系统未必具有根限伪轨跟踪性，反之亦 然[6]．本文证明了闭光滑微分流形上的微分同胚在拟双曲轨道上具有极限伪轨跟踪性． 本文约定z是整数集合，M是一个n维闭光滑流形，，是微分流形M 上的一个微分同胚，D ( 表示M 上的所 有C 微分同胚的集合．以下我们研究由f生成的离散动力系统．用符号ID表示M上的黎曼度量，LM表示M在z点上 的切空间，ll·ll表示切空间上的范数．对于任意给定的数 O，当M上的一个点列{z } ∈ 对所有的n∈z都满足．0( ．厂 (z )，z ) 时，称点列{z } ∈z为，的一个 一伪轨．设{z } ∈z是M上的一个点列，对于给定的数eO，如果存在一点 yEM，满足lD(，( )，-27i)e，iE z，则称y点e一跟踪点列{z }f∈z．若对任意的e0，存在 O，使得，的任意 一伪轨都 能被x中的某点e一跟踪，则称，具有伪轨跟踪性，简称，具有PO丁P．对给定的一个数 O，如果 x上的序列{z } 满足lD(，(z )，zf_1) ，￡∈z，且liml I—。p(f(x )，37…)一0，则称此序列为，的 一极限伪轨．如果对任意给定的数e 0，都存在 O，使得对于，的任意 一极限伪轨{z } ∈z存在x中的点z满足lD(，(z)，z )≤e， ∈z且lim…一ID( (z)， ． 37 )一0，则称．厂具有极限跟踪性． 下面将介绍文献