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华东理工大学 网 络 教 育 学 院 本科《离散数学》第三阶段练习 一、判断题（对的在括弧中打个“√”，错的在括弧中打个“”） 1、若、均为集合上的等价关系，则也是上的等价关系。 （ ） 2、，则是相容关系。 （ √ ） 3、半群就是运算满足封闭性且存在幺元的代数系统。 （ ） 4、设是复合函数，如果是入射的，那么是入射的。 （ √ ） 5、对集合，定义在其上的运算是封闭的。 （ ） 6、复合函数存在，那么函数与必为双射函数。 （ ） 7、独异点一定是半群。 （ √ ） 8、群中的每个元素都有逆元，但对应的逆元不唯一。 （ ） 9、群与其任一子群具有相同的幺元。 （ √ ） 10、交换群就是对运算满足交换律且每个元素都有逆元的独异点。 （ √ ） 11、群中无零元。 （ √ ） 12、交换群必定是循环群。 （ ） 13、循环群中的生成元一定是唯一的。 （ ） 14、记集合的幂集为，则代数系统构成交换群。（ √ ） 二、右图是集合上的一个偏序关系的关系图，（1）写出关系的全部序偶；（2）求出；（3）画出的哈斯图；（4）是否为全序关系？是否为良序关系？ 解： （1）； （2）； （3）哈斯图如右所示： (4) 不是全序关系，也不是良序关系 三、已知集合上的一个偏序关系的哈斯图如下所示， 1、分别找出下列子集的上界上确界，下界、下确界。 解： 子集合 上界 上确界 下界 下确界 1 1 3 3 4，1 4 无 无 1 1 无 无 2、试求的所有极大元、极小元、最大元、最小元； 解：集合的 极大元：1； 极小元：3，5； 最大元：1； 最小元：无 四、填空题 对于实数集合，下表所列的二元运算是否具有左边一列中的那些性质，请在相应的位置上添上“是”或“否”。 解： max min 可结合性 是 否 是 是 是 否 可交换性 是 否 是 是 是 是 存在幺元 是 否 是 否 否 否 存在零元 是 否 是 否 否 否 五、设是一个半群，而且对于中的元素和，如果，则有，试证明： 1、对于中任一个元素，必有； 2、对于中任一个元素和，必有。 证明：1、因为，所以由题设即知有。 证明：2、由，即知 其中利用了题1的结果：，有。 六、设是一个代数系统，是实数集合上的一个二元运算，它使得对于中的任意元素、，都有 其中的运算“”、“”即为实数的加法、乘法。 试证明：是幺元，且独异点。 证明：（1），由即知，是幺元。 （2），显然，即封闭性成立； 又，有 显然上两式相等，即满足可结合性，综合得是幺元，且独异点。 七、设和都是群的子群，试证明也是的子群。 证明：，因为和都是子群，所以，由于运算在中的封闭性，所以有，由非空子集成为子群的充分条件（课本的定理5--4.8）即得也是的子群。 八、设是个独异点，并且对于中的每一个元素都有，其中是幺元，证明是一个阿贝尔群。 证明：由，都有成立，及是幺元，即知，亦即中每个元素的逆元都是其自身。故已经是个群了。 又，由封闭性显然有，且由前段结论，又有，，进而有 即在中满足交换性。 综合即得是一个阿贝尔群。 2