湖南师范大学2017年数学学院硕士《高等代数》考试大纲.pdf

湖南师范大学2017年数学学院硕士 《高等代数》考试大纲 一、试卷结构 1)试卷成绩及考试时间 本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。 2)答题方式：闭卷、笔试。 3)试卷内容结构 北京大学数学系所编的高等代数第一章至第九章。 4)题型结构 a:填空题，5小题，每小题6分，共30分； b:计算题，4小题，每小题15分，共60分； c:证明题，4小题，每小题15分，共60分。 二、考试内容与考试要求 1、多项式 考试内容 数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系 数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式。 考试要求 （1）掌握数域的定义，并会判断一个代数系统是否是数域。 （2）正确理解数域P上一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元多项式环等概念。掌握多项式的 运算及运算律。 （3）正确理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。 （4）正确理解和掌握两个 （或若干个）多项式的最大公因式，互素等概念及性质。能用辗转相除法求 两个多项式的最大公因式。 （5）正确理解和掌握不可约多项式的定义及性质。了解因式分解定理。 （6）正确理解和掌握k重因式的定义。 （7）掌握多项式函数的概念，余数定理，多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。 （8）理解代数基本定理。熟练掌握复 （实）系数多项式分解定理及标准分解式。 （9）正确理解和掌握本原多项式的定义及性质。掌握整系数多项式的有理根的计算。 （10）了解多元多项式的基本概念。 2、行列式 考试内容 排列，n级行列式的定义，n级行列式的性质，n级行列式的展开，行列式的计算，克拉默(Cramer)法 则，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法规则。 考试要求 （1）理解并掌握排列、逆序、逆序数、奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。 （2）深刻理解和掌握n级行列式的定义，并能用定义计算一些特殊行列式。 （3）熟练掌握行列式的基本性质。 （4）正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。 （5）正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行 （列）展开的公式。掌握计 算行列式的基本方法与技巧。 （6）熟练掌握克拉默(Cramer)法则， （7）了解拉普拉斯(Laplace)定理，能初步利用行列式的乘法规则解决简单的问题。 3、线性方程组 考试内容 消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。 考试要求 （1）正确理解和掌握一般线性方程组，方程组的解，增广矩阵，线性方程组的初等变换等概念及性质。 掌握阶梯形方程组的特征及作用。会求线性方程组的一般解。 （2）理解和掌握n维向量及两个n维向量相等的定义。熟练掌握向量的运算规律和性质。 （3）正确理解和掌握线性组合、线性相关、线性无关的定义及性质。掌握两个向量组等价的定义及等 价性质定理。深刻理解向量组的极大无关组、秩的定义，并会求向量组的一个极大无关组。 （4）深刻理解和掌握矩阵的行秩、列秩，以及矩阵的秩的定义。掌握矩阵的秩与其子式的关系。 （5）熟练掌握线性方程组的有解判别定理。理解和掌握线性方程组的公式解。 （6）正确理解和掌握齐次线性方程组的基础解系。了解解空间的概念。熟练掌握基础解系的求法、线 性方程组的结构定理。并对有解的一般线性方程组，会求其全部解。 4、矩阵 考试内容 矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的 初等变换及应用。 考试要求 （1）掌握矩阵的的加法、数乘、乘法、转置等运算及其计算规律。 （2）掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 （3）正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个n阶方阵可逆的充要条件和用公 式法求一个矩阵的逆矩阵。 （4）理解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的加法、乘法的运算及性质。 （5）正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形 和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵