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第一类换元积分法的课堂讲解 　　一、 引言 　　微积分是高等数学中重要的知识内容，第一类换元积分法（也叫凑微分法）是一种重要的基本积分方法。积分是微分的逆运用，没有固定的公式可以套用，所以我们需要对积分式子进行适当的变形和换元才能解题，本文通过凑微分思想总结出几种第一类换元积分的类型供大家学习参考。 　　二、 课前复习 　　前面学生已经学习了导数及其运算法则、不定积分的定义、不定积分的基本公式。根据本节课程内容的要求，先复习以下几个内容： 　　1、 原函数的概念：设函数 在区间 （有限区间或无限区间）内有定义，若存在函数 ，使得对该区间上任一点 ，有 ，就称 为 在区间 上的一个原函数. 　　2、 13个不定积分的基本公式： 　　， ， ， ， ， ， 　　， ， ， 　　， ， ， 　　三、 课堂讲授 　　1、 经过前面的复习，给出练习，让学生求下列函数的积分： 、 、 　　学生都能取得相对应的结果，引导学生总结归纳，积分关键看对哪个变量积分。 　　2、让学生比较 与 的关系，引导学生得出 与 的关系，通过微分的计算得出 ，即 。而这就是我们今天要研究的第一类换元积分，也就是凑微分法。通过等量代换可以得到 . 　　例题1：求不定积分 　　解： 　　例题2：求不定积分 　　解： 　　根据以上两题总结出两种类型：① ② 　　例题3：求微分 = 　　求不定积分 　　解：由 = ，知 　　所以： 　　总结类型：③ 　　例题4：求不定积分 　　解： 　　总结类型：④ 　　例题5：求不定积分 　　解： 　　总结类型：⑤ ⑥ 　　例题6：求不定积分 　　解： 　　提示： 　　总结类型：⑦ 　　例题7：求不定积分 　　解：提示： 　　总结类型：⑧ 　　例题8：求不定积分 　　解：提示： 　　总结类型：⑨ 　　例题9：求不定积分 　　解：提示： 　　总结类型：⑩ 　　四、 结尾 　　利用基本积分公式与不定积分的性质，只能计算部分函数的不定积分。本文总结几种常见的第一类换元积分方法，通过换元，把一个形式复杂的不定积分转化成一个形式简单的不定积分，其基本思想就是用换元对被及表达式进行化简，然后再求不定积分。 　　参考文献： 　　[1] 同济大学应用数学系 高等数学[M] 北京 高等教育出版社 2002 　　[2]裴礼文 数学分析中的典型问题和方法[M] 北京 高等教育出版社 2006 　　[3].研究性?W习?学习包[M].研究组：《综合主题》，上海科技教育出版社. 　　[4]徐利治 数学方法论选讲[M] 武汉 华中理工大学出版社 1988 　　[5] 贝弗里奇.科学研究的艺术[M].科学出版社，1979. 4