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五年级秋季班 第九讲 完全平方数 曹威 第九讲 完全平方数 完全平方数是数论中的一个重点知识，也是各大杯赛中常考的一个知识点。这一讲学员需要掌 握的主要是完全平方数的性质及灵活运用。 一、完全平方数的定义 把一个自然数平方后所得到的数叫做完全平方数或平方数。 二、常用完全平方数表 676 三、完全平方数性质 1、平方数的尾数特征（通过列表的观察可得） 性质1：完全平方数的个位只可能是0,1,4,5,6,9。 性质2：如果一个自然数介于两个连续的平方数之间，则这个数一定不是完全平方数。 性质3：若一个平方数的个位是6，则十位是奇数； 若一个平方数的个位是奇数，则十位一定是偶数； 若一个平方数的个位是0，则它后面连续的0 的个数一定是偶数个； 若一个平方数的个位是5，则它的十位一定是2，百位一定是0,2,6 中的一个。 2、平方数的余数特征 任意数除以3 的余数有0,1,2,三种情况，由余数的 性质4：完全平方数除以3 的余数只能是0、1。 性质可知，平方数除以3 的余数只能是 ， 完全平方数除以4 的余数只能是0、1。 ， ，4 除以3 的余数还是1 完全平方数除以8 的余数只能是0、1、4。 完全平方数除以16 的余数只能是0、1、4、9 3、平方数的因数特征 性质5：完全平方数分解质因数后，每个质因数的次数都是偶数次。 性质6: 完全平方数的因数有奇数个。 4、平方数的差特征 性质7：平方差公式： , 其中 和 的奇偶性相同。 注：在这7 个性质中5,6,7 是各大杯赛的常考点， 性质 1-4 主要是用于判断一个数是否为平方数。 四、完全平方数性质的灵活运用 1、平方数的基础练习 （1）不超过2010 的最大的完全平方数是多少？估算 ， ，所以应该在40-50 之间， ，所以 不超过2010 的最大的平方数应该是 （2）一个平方数，它的最后三位数字相同但不为0，则该数最小是多少？性质1，个位只能是1,4,5,6,9，所以最小的应该是 111,444,555,