哈尔滨医科大学《数学分析II》傅氏级数2526.pptVIP

第十二章傅氏级数 三角函数系及其正交性 1.问题的引出 2.三角函数系的正交性 第十二章傅氏级数 周期为 的函数的傅氏级数及其收敛性 1.周期函数的傅氏系数与傅氏级数 假设三角级数 在 上一致收敛于 .此时有 则 定义 设 是一个以 为周期的函数,且在 上有界可积,则称数串 为函数 的傅里叶系数,简称傅氏系数. 以傅氏系数为系数所作的三角级数 称函数 的傅里叶级数,简称傅氏级数. 记作 2.傅氏级数的收敛性定理及傅氏展开式 如果函数 在 上除去有限个第一类 间断点外处处连续,则称 在 上分段 连续. 假设 是 的第一类间断点,记 分别为 在 处的左,右极限,若极限 存在,则称 在 处广义左可导,记该极限为 称之为 在 处的广义左导数.(广义右导数) 若函数 在 上分段连续,又存在有限 个点 ,使得 在每 一个小区间 上可微,且在这些点处 的广义导数 存在, 则称 在 上分段可微. Dirichlet定理 设函数 以 为周期,在区间 上 满足Dirichlet条件,即: 在 上分段连续且分段单调,则 的傅氏级数在任意一点 处均收敛, 且其和函数为 Remark 一个分段连续且分段单调的函数, 在其连续点处,其傅氏级数就收敛 到该点的函数值,此时称函数 在该点可以展成傅氏级数. 例 1 例 1 3.奇,偶周期函数的傅氏级数 当 是偶函数时,其傅氏系数为 当 是奇函数时,其傅氏系数为 此时 的傅氏级数中只有正弦函数项: 称这样的级数为傅氏正弦级数, 简称正弦级数. 例 2 4.任意周期的周期函数的傅氏级数 设 以 为周期,则 的傅氏级数为 其中, 例 3 5.定义在有穷区间的函数的傅氏级数 情况一: 函数 在 上有定义. Remark 例 4 情况二: 函数 在 上有定义. 情况三: 函数 在 上有定义. 例 5 本节小结 周期函数的傅氏系数与傅氏级数 傅氏级数的收敛性定理及傅氏展开式 奇,偶周期函数的傅氏级数 任意周期的周期函数的傅氏级数 定义在有穷区间的函数的傅氏级数 Thank you!@_@ * §1 在某区间上无穷次可导的函数可展成 Taylor级数 非无穷次可导的函数呢? 比如周期函数~ 以 为周期的函数 : 是否存在常数 与 ,使得 三角级数 基本三角函数系 以 为周期的函数 : 其中 是否存在常数 与 ,使得 同弦同数才为 . ① ③ ② ④ §2 如果函数 在 上只有有限个单调 区间,则称 在 上分段单调. 为 的连续点, 为 的间断点. 仅在连续点处可 展成傅氏级数. 定理2: 设函数 以 为周期,且在区间 上分段可微,则 的傅氏级数在任意 一点 处均收敛到和函数 设函数 以 为周期,它在 上 的表达式为 求 的傅氏级数及其和函数. 设函数 以 为周期,它在 上 的表达式为 求 的傅氏级数及其和函数. 此时 的傅氏级数中只有常数项和余弦 函数项: 称这样的级数为傅氏余弦级数,简称余弦级数. 设函数 以 为周期,它在 上的表达式为 求 的傅氏级数及其和函数. 设函数 以 为周期,它在 上的表达式为 其中 .求 的傅氏展开式. (1)令 则 为以 为周期的函数,称其为 的周期延拓函数. (2) 其中, (3)则在 上, 函数 在