哈尔滨医科大学《数学分析II》无穷级数19.pptVIP

第十章 无穷级数 §6 泰勒级数 1. Taylor级数的概念 定义 2. 函数能展开成幂级数的充要条件 3. 函数展开成幂级数 例 1 例 2 例 3 例 4 例 5 例 6 4. 常用函数的泰勒展开式 本节小结 幂级数展开唯一性定理 泰勒级数的概念 函数能展开成幂级数的充要条件 函数展开成幂级数:方法一,方法二 常用函数的泰勒展开式 * 数学分析II 生物数学教研室 上节例9结果: 问题: 是否存在 ,使得 ? 若存在,系数是多少 ? 级数表示式唯一吗 ? 定理 1: 设级数 在区间 内收敛于 , 即 那么,该幂级数的系数 与函数 有如下关系: 这里 . 幂级数展开的唯一性 设函数 在 处有任意阶导数,此时级数 称为 的泰勒级数,记作 当 时, 麦克劳林级数! 例如, 如果一个函数的泰勒级数能收敛到这个函数,则称该函数 能展开成幂级数;称其泰勒级数为泰勒展开式;否则称这个 函数不能展开成幂级数. 有任意阶导数的函数类; 能展开成幂级数的函数类. 定理 2: 设函数 在含有点 的某个区间 内有任意阶 的导函数,则 在 内能 展开成泰勒级数 其中 为 的泰勒公式的余项. (lagrange) 方法一:直接展开法(默认麦克劳林级数) (1) 求出 在 点的各阶导数 ; (2) 作形式幂级数 (4) 验证在收敛域内 (3) 确定该级数的收敛半径 ,确定收敛域; 则在收敛域内,有 解:如前面步骤. 则 的泰勒级数为 此幂级数的收敛半径是: 实际上, 求 的泰勒展开式. 而 是个有限值,所以 故函数 的泰勒展开式为 求 的泰勒展开式. 解: 则 的泰勒级数为 由检比法,该级数的收敛半径为 且余项 故, 方法二:间接展开法 利用已有的展开式，通过适当的变换 (变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分)，求出 未知的展开式的方法. 由于泰勒级数的唯一性，新得到的级数一定是 所求函数的泰勒级数 . 求 的泰勒展开式. 解:由例 2 知, 逐项求导,得 求 的麦克劳林展开式. 解:由于 而当 时, 则 将这个级数两边求积分,得 当 时, 收敛, 故 将 展开成 的幂级数. 解: 而由前面的结论, 而由第一个式子,有 由第二个式子,有 于是, 求级数 的和. 解:构造幂级数 收敛域为 即 积分得 于是 说明一个幂级数在收敛域内,以一个比较好的函数为和函数,那反过来给定一个函数,是否存在一个幂级数,使这个幂级数的和函数在某点附近正好是这个给定的函数呢? 为啥用~~~解释一下~ 默认展开成迈克劳林,即在x=0处展开. *