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12-5解.取圆板和质点组成的系统为研究对象. 应用动量矩守恒定理: 阅读材料和作业 作业 (1)11---3; 11---5 M O l M0 y z x ? vr (?-?) * 内 容 提 要 第十一章 动量矩定理 三、动量矩定理 四、质点系相对于质心的动量矩定理 三、动量矩定理 (1)质点的动量矩定理 LO = r ? mv (1) 讨论: (a)若mo(F) = 0 , 则LO = C(恒矢量) (b)若mz(F) = 0 , 则Lz = C(恒量) 在直角坐标系中(1)的投影式为: (2)质点系的动量矩定理 设有n个质点组成的质点系,取第i个质点. 这样的方程有n个,求和得: (2) 计算内力矩的和 ? mo( Fii ) = 0 把上式代入(2)式得: (3) 讨论:(a)若Moe = 0 , 则LO = C(恒矢量) (b)若Mze = 0 , 则Lz = C(恒量) 在直角坐标系中(3)的投影式为: 内力不能改变质点系的动量矩. 例题1：小球A、B以细绳相连，质量皆m,其余构件质量不计。忽略摩擦，系统绕Z轴自由转动，初始时系统的角速度为?o.当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成?角时系统的角速度?. Lz1=Lz2 , ?= a 2 ( a+lsin?) 2 ?o 解：取此系统为研究对象。 Mz=0 ,Lz=C ?=0 时， Lz1=2·ma?o·a=2ma 2 ?o ?=0 时 ，Lz2=2m(a+lsin?) 2 ? e ?o ? a a z ? ? z l l l l A B (3)刚体定轴转动微分方程 Jz ? = Mz Jz ? = Lz ? （?、Mz均为代数量，按统一标准定正、负。） 例2：质量为m的刚体绕o轴转动。质心C到O轴的距离为a.求微幅摆动的周期T.及转动惯量Jo. 解: Jo?= - mgasin ? Jo?+mga ? =0 mga Jo ? ? + = 0 ?=Acos( mga Jo t +?) T= mga Jo 2? Jo= T mga/ 4? 2 2 ? ? 解：取刚体为研究对象 y o x a c ? mg Xo Yo o ? F1 F2 Xo Yo mg 例：均质m、R.求：两边拉力。 解：（F1- F2）R=(mR/2 )? 2 当?=0时 ， F1 = F2 当?=0 ， m=0， R=0 时 ，F1 = F2 当?=0 ， 但m=0 或 R=0 时， F1 = F2 · 例题3:如图所示一对啮合齿轮.两轮分别绕01,02转动,它们的半径分别为r1, r2；重量分别为P1，P2；轮1绕01轴的转动惯量为J1，轮2绕02轴的转动惯量为J2。现在齿轮1上作用一驱动力矩M，求齿轮1的角加速度α1 。（两齿轮轴的轴承摩擦忽略不计。） r1 M O1 r2 O2 分析：因为两轮分别绕不同的轴转动， 因此，应分别选取两轮为研究对象。 r1 M O1 r2 O2 解：1、选01轮为研究对象，受力分析： 2、选02轮为研究对象，受力分析： 3、根据运动学关系： Pt Pn r1 M O1 X1 Y1 P1 α1 r2 O2 Pt Pn P2 X2 Y2 α2 根据刚体的定轴转动微分方程： 根据刚体的定轴转动微分方程： 联立（1）、（2）、（3），解得： 四、质点系相对于质心的动量矩定理 LO = Lc + rc ? P (4) (5) 联立(4)(5)式得: 即: (6) O C质心 i ri ri? rc 在直角坐标系中(6)式的投影式为: 由于Lc = Lcr故在应用(6)式时一般都计算 质点系的相对运动对质心的动量矩. 例题4. 质量为M半径为2r的均质滑轮绕固定轴O转动,质量分别为m1和m2的物体A和B悬挂于定滑轮上,如图所示.求:(1) 定滑轮的角加速度; (2)定滑轮所受的约束力. O A B O A B 解: (1) LO = LOO + LOA + LOB vA = vB = R? vB ? LOA = m1R vA = 4m1r2? LOB = m2R vB = 4m2r2? LOO = 0.5M(2r)2 ? = 2Mr2 ? LO = 2Mr2 ? + 4m1r2? + 4m2r2? = 2r2 (M + 2m1 + 2m2) ? 计算外力对O点的主矩 Moe = (m1 - m2)gR 2r2(M + 2