2016数学（上教版）教案：正切函数的图像与性质.docVIP

课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师： 教学目标 （1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单调性及证明． 教学方法 教师启发讲授，学生积极探究． 教学手段 计算机辅助． 教学过程 设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于任意一个实数，都有唯一确定的值与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：． (设计意图：，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理解不能取的理由) 今天我们就要研究正切函数（）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法利用基本初等函数图像的变换作图． 学生可以迅速解决． 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x与tanx关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 奇偶性：奇函数． 学生会利用迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？ （可举反例说明不是偶函数） 周期性：是最小正周期． 学生会利用，得到是函数的周期． 教师提问：能否说明是最小正周期？ 引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢？ 反证法： 假设存在是的周期，则 都有．取，则． ． ，这与矛盾． 从而，是正切函数的最小正周期． 单调性：函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数． 有学生可能会在正切线的复习中，认为是个增函数． 若学生这样回答，则可以请同学思考，是否正确？如何说明？ 有学生可能说因为是周期函数，所以不是单调函数，就请同学继续思考，周期函数不是单调函数的原因． （举反例：．这与单调性的定义矛盾） 对每一个，在开区间内，函数单调递增． （可以先作图，通过图观察得到结论，然后证明） （二）结合性质，作出函数的图像 （1）根据正切函数的周期性，我们可以先画出一个合适的、长度为的区间上的图像， 选择哪一个呢？ 选择区间；简单说明选择的理由． （2）借助于正切线，描点，然后用光滑的曲线顺次连接，得到函数在上的图像． （3）根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数的图像． （三）观察图像，进一步研究性质 请同学们认真观察正切函数的图像，发现有何特征？ （正切函数的图像是它的性质的直观表现） 1、正切函数的图像是被相互平行的直线x=k(+,k∈Z所隔开的无穷多支形状完全相同的曲线组成的． 2、对每一个，在开区间内，函数单调递增． （同学思考，完成证明） 3、正切函数的图像关于原点对称；（问：还有其他的对称中心吗？） 通过练习，巩固基础 例1．已知函数y=tanx， （1）若,求y的取值范围； （2）若,求y的取值范围． 说明： 利用函数在区间上单调递增得到答案． 把y=tanx在区间上的图像不断向左、右扩展，也可得到正切函数的图像．因此， 有同学说正切函数在一个周期上递增是错误的．也可以对照说明，作正切函数图时选择的合理性． 例2．写出使不等式成立的x的集合． 说明：先求在上满足条件的，然后扩展到整个定义域． 函数图像是函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，重视数形结合的思想方法的基本性质． 改为呢？ 说明：大多数同学能够掌握的图像可以通过的图像向左平移个单位得到，从而方便地结合图像研究性质． 研究的性质要困难的多．希望同学能类比研究正弦、余弦函数时的方法解决，必要时通过代换来解决． 总结思考，提高能力 （一）小结： 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． （1） 理解了正切函数的定义； 理解了正切函数的图像特征； 掌握了正切函数的基本性质． 运用了举反例、类比、反证法等数学方法，体会了数形结合的思想． 体验了成功的快乐． （二）思考： （1）函数和是同一个函数吗？ （2）研究函数的基本性质． （3）研究函数的基本性质，作出大致图像． 分层作业，巩固拓展 1、全体同学完成课本95页第4、5题． 2、每位同学结合今天研究的内容，设计一道回家作业题，并完成． 教学设计说明 一、教学内容的分析 教材的地位和作用 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，又一具体的三角函数．为后面学习