2016宜宾柳嘉职中对口升学数学二轮复习教案及试题：解三角形的进一步讨论.docVIP

　解三角形的进一步讨论 三维目标 一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 2.三角形各种形状的判定方法； 3.三角形面积定理的应用． 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题． 三、情感态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系． 教学过程 导入新课 师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用. 推进新课 思考：在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm,A=133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程） 从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题． 【例1】在△ABC中，已知A,B,A，讨论三角形解的情况. 师 分析：先由可进一步求出B；则C =180°-(A+B),从而. 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况． 1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解． 2.当A为锐角时， 如果a≥b，那么只有一解； 如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若a＞bsinA，则有两解； （2）若a=bsinA，则只有一解； （3）若a＜bsinA，则无解． （以上解答过程详见课本第9到第10页） 师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解． （1）A为直角或钝角 （2）A为锐角 【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型． 分析：由余弦定理可知 a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形， a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形， a2＜b2+cA是锐角/△ABC是锐角三角形。 （注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形 ） 解：∵72＞52+32,即a2＞b2+c2， ∴△ABC是钝角三角形． [教师精讲] 1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题． ①已知两角和任一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． 2．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例如：在判断三角形形状时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替． 3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边角之间的转化． （1）已知三边，求三个角． （2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角． 4．用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a2=b2+c2-2bccosA中含有未知数时，这便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运用此式可以求A或B或C或cosA． 师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片1.1.3B) ［例题剖析］ 【例3】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB∶BC＝AD∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为,再根据相等角正弦值相等,互补角正弦值也相等即可证明结论. 证明:在△ABD内,利用正弦定理得,即, 在△BCD内,利用正弦定理得,即, ∵BD是角B的平分线,∴∠ABD=∠DBC ∴sin∠ABD=sin∠DBC. ∵∠ADB+∠BDC=180°, ∴sin∠ADB=sin(180°-∠BDC)=sin∠BDC. ∴. ∴. 评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用. ［例题剖析］ 【例4】分析:此题所证结论包含关于△ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角的关系通过正弦定理转化为边的关系,若是余