2016宜宾柳嘉职中对口升学数学二轮复习教案及试题：简单线性规划问题02.docVIP

第2课时 导入新课 师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念. 师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤. 生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）; （2）设t=0，画出直线l0; (3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解; (4)最后求得目标函数的最大值及最小值. 推进新课 师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值. 师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点. 解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组 得C（,）， 令t=300x+900y， 即, 欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112 500. 师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值. 师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解. 解：可行域如图所示.四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组 得点C的坐标为（,). 因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70,y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69 000. 师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值. 师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值. 解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合； 不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合. 可行域如右图所示.作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R). ∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知： 当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1. 师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解. 师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题. （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件 （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 ［教师精讲］ 师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件 解：不等式组表示的平面区域如右图所示： 当x=0,y=0时，z=2x+y=0， 点（0，0）在直线l0:2x+y=0上. 作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R. 可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大. 所以z max=2×2-1=3. （2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件 解：不等式组所表示的平面区域如右图所示. 从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大. 所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z max=3×+5×=14. ［知识拓展］ 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？ 师 分析：将已知数据列成下表： 消耗量产品资源甲产品（1 t） 乙产品(1 t) 资源限额（t） A种矿石（t） 10 4 300 B种矿石(t) 5 4 200 煤(t) 利润（元） 4 9 360 600 1 000 解：设生产甲、乙两种产品分别为