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工科背景下的数学之美 　　【摘要】高等数学、复变函数与积分变换是电气工程及其自动化专业基础课电路、信号与系统、自动控制原理的数学基础，联系紧密.但在学生的实际学习中，这两类课程往往不能很好地衔接，使专业基础课的学习有一定困难.为此，本文就上述课程的知识模块进行系统梳理，有针对性地找到两类课程的内在联系，寻求数学思想方法在专业知识中的背景，挖掘专业知识技术中蕴含的数学思想，以达到两类课程融会贯通的效果.从而提高工科学生的数学素养，同时，使专业知识的掌握更容易、理解更深刻. 　　【关键词】傅立叶变换；拉普拉斯变换；信号与系统；自动控制原理；数学思想 　　【基金项目】本文受中国民航大学校级大学生创新创业项目（项目号：IECAUC2016014）的资助. 　　电路、信号与系统、自动控制原理是电气工程及其自动化专业的专业基础课，除包含一些专业领域的基本概念，其中涉及的专业知识与处理问题的方法大都以微分方程、傅立叶变换、拉普拉斯变换等数学知识为基础. 　　在学习数学基础课时，有学生感觉内容多、难度大、进度快，导致数学基础不够扎实，进而在后续学习专业基础课时感到吃力.而从教学的角度，专业基础课教师的教学重点是新的专业知识，不能花费过多时间复习数学基本概念与方法.这些衔接上的问题，使部分学生不易接受突然出现的数学知识的应用，对专业基础课产生畏难情绪.对此，首先，本文对数学基础课和专业基础课的知识模块进行系统的梳理总结，数学知识主要包括微分方程、傅立叶变换、拉普拉斯变换及其关系，并分析它们的应用背景，以丰富数学基础课教学的应用性.然后，阐述专业基础课的内在联系，以帮助学生系统地把握专业基础课的知识内容.最后，用更高的数学观点（泛函分析）阐明专业知识中相关的数学方法，使学生对专业知识的数学原理有更深刻的认识. 　　一、微分方程求解在时域分析中的应用 　　专业基础课电路、信号与系统、自动控制原理的主要内容是对各类系统的性态的分析研究，大多以数学模型及其分析方法为基础，其中时域分析法的教学模型是高等数学中的微分方程：用微分方程描述系?y，通过求出的解分析系统.因此，要熟练掌握时域分析法，就必须掌握求解微分方程的方法.常用方程及解法见《高等数学》下册第十二章[1]. 　　时域分析法的优点是能够得到解的精确解析表达式，但缺点是求解过程比较烦琐，而系统的数学建模过程、频率特性、传递函数求取需要求解大量的微分方程，所以必须降低微分方程的求解难度，方法就是对微分方程作拉普拉斯变换. 　　二、拉普拉斯变换在系统分析中的应用 　　拉普拉斯变换的定义[2]是 　　F（s）=∫+∞0-f（t）e-stdt，是将自变量为时间的函数通过某种积分运算转化为自变量为复频率的函数.从数学角度看，它使复杂的运算转化为较简单的运算.比如，将微分转化为乘法，将积分转化为除法.将其应用于系统分析，因为它将微分方程转化为代数方程，从而达到了降低方程求解难度的目的[2]. 　　（一）应用拉氏变换求解微分方程 　　具体解法如下： 　　第一步，求取微分方程中每一项的拉普拉斯变换，得到相应的代数方程； 　　第二步，求解代数方程； 　　第三步，对所求的解求取拉普拉斯反变换，得到原微分方程的解. 　　构成系统的元件的数学模型是时间域下的微分或积分表达式，通过拉普拉斯变换，可将其转化为复频域下的简单的代数表达式.然后相应地做出复频域中的等效电路图，这极大地简化了系统分析中的建模和求解. 　　下面列举几个典型元件的例子[3]： 　　下面以一个简单电路的分析为例[4]，表明拉普拉斯变换对系统建模、求解的简化. 　　例如图所示，已知输入为u1（t）=5cos2t，求输出u2（t）. 　　解第一步，根据上表，作复频域等效电路图： 　　第二步，根据等效电路图列出复频域下电路的代数方程： 　　U2（s）=U1（s）1s1+1s=1s+1×5ss2+4=-1s+1+s+4s2+4. 　　第三步，对U2（s）取拉普拉斯反变换得到时域下的响应表达式： 　　u2（t）=-e-t+cos2t+2sin2t，t≥0. 　　由此可见，拉普拉斯变换可以将时域下一些微分方程模型转化为复频域下简单的代数方程模型，使建模与求解得以简化. 　　（二）拉普拉斯变换在系统分析中的应用 　　对于常系数线性微分方程模型，方程的特征根就是解的表达式中各项的系数，它决定了系统的响应性能.好的响应性能需要合适的特征根，改变特征根可以通过改变特征方程的系数实现，而特征方程的系数就是系统中的参数.于是，可以通过改变系统参数，方程的阶不变，获取较好的系统性能. 　　在复频域中常用的分析方法是根轨迹法，即找到系统参数与特征根的关系，让随着参数变化的特征根轨迹在根平面上绘制出来，从中选择有好的响应性能的