对高中数学中直线与椭圆的交点分析.docVIP

对高中数学中直线与椭圆的交点分析 　　摘要：在高中数学中，直线和椭圆的关系成为高考一个必考的内容，其涉及的内容可深可浅，运算量可以非常简单，同时也可能很复杂，可以作为选择题、填空题或是最后的压轴大题。关于直线和椭圆交点的分析在高中数学教学中占据主导地位，需要学生花大量的时间进行消化和运用。本文主要对椭圆进行简单的介绍，重点阐述椭圆和直线两者之间存在的联系和所涉及的一些基本运算。 　　关键词：高中数学；直线与椭圆；交点分析；位置关系 　　G633.6 　　一、椭圆的基本介绍 　　1.椭圆的定义 　　平面内的点与两个定点距离之和等于常数，该常数大于两定点之间的距离，这样的常数形成的点的轨迹叫做椭圆。而这两个定点叫做椭圆的焦点，其之间的距离叫做椭圆的焦距。 　　2.椭圆的标准方程式 　　共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（ab0）； 当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（ab0）；其中a^2-c^2=b^2。 　　3.椭圆的几何性质 　　关于椭圆的一些几何性质，有几个方面。当焦点在X轴时 -a≤x≤a，-b≤y≤b，当焦点在Y轴时 -b≤x≤b，-a≤y≤a；椭圆的对称性，其对称中心其实就是椭圆的中心；椭圆的顶点，就是椭圆对称轴的四个交点；长轴与短轴，指的就是对称轴上两对顶点之间的线段；椭圆的离心率，指的是焦距与长轴之比，记作e，范围在0和1之间，e越接近于1，椭圆就越扁，反之越圆。 　　二、直线和椭圆的交点问题 　　直线和椭圆可以是没有交点、一个交点或两个交点，其分别体现的是直线与椭圆的相离、相切和相交。当直线和椭圆相离时，两者之间没有交点；当直线和椭圆相切时，存在一个交点，就是切点；当直线和椭圆相交时，会有两个交点，那么我们如何才能判定直线和椭圆的位置关系呢。 　　在探索直线和椭圆的位置问题时，主要是靠研究两者之间的交点个数进行判断，因此可以用代数的方法联立方程组求解，从而进行判定。首先，把直线方程和椭圆方程联立为方程组。其次，消去y或x得到一元二次方程。最后，计算△=b^2-4ac，当△0，即表示直线和椭圆相交；当△=0，直线和椭圆相离；当△0，直线和椭圆相离。当然，假如求得y或x有两个解时，说明有两个交点；只有一个解时，说明只有一个交点；无解的话，说明相互之间是没有交点的。主要通过根和系数的关系和求根公式来解决这个问题，学会使用数形结合的方式可以更直观、更清晰的表达出内容。 　　三、直线和椭圆交点问题的基本运算 　　直线和椭圆之间涉及到很多考点，要解决两者之间的问题无非是要注意这几个方面：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存在；（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程；（4）一元二次方程的判别式；（5）韦达定理，同类坐标变换；（6）同点纵横坐标变换；（7）x，y，k（斜率）的取值范围；（8）目标：弦长、中点、垂直、角度、向量、面积及范围等。接下来列举几个常见的题型，进而进行分析和解答。 　　1.求取值范围的问题 　　例如，直线和椭圆始终有交点，求椭圆方程中a或b的取值范围。 　　一般遇到这种情况，可以先看直线方程，找出其特点，看该直线是否过定点，同时观察椭圆的定点，初步确定所求变量的取值范围。该题的解题关键是直线和椭圆恒有公共点，从而确定题目的答案。 　　2.形成几何面积问题 　　例如，椭圆方程已知，求两焦点与椭圆y轴上的一个顶点所形成的面积。 　　做这种题目时，首先第一件事就是把图画出来，把需要的点都标出来。这个题目其实很简单，因为椭圆的方程式是已知的，就可以知道两个焦点的坐标，以及四个顶点的坐标，只需要进行简单的等腰三角形的求和公式的运算就可以得出答案。 　　3.求最小距离的问题 　　例如，椭圆方程已知，直线方程已知，求椭圆上是否存在一点到直线的距离最小以及最小距离为多少。 　　同样，第一件事是画图，将已知的内容全部画上去。假设存在一点与直线的距离最小，得出距离d的一个方程，与椭圆的方程进行联立求解，从而得出答案。从这个题目中，我们也可以得出，假如存在一个这样的点，距离d等于零的话，说明直线与椭圆相切；距离大于零，则说明直线与椭圆相离。假如存在两个点，距离d都等于零的话，说明直线与椭圆相交。 　　除此以外，还有其他很多关于直线和椭圆的题型，如椭圆上一点到两焦点连线的垂直问题、直线被椭圆所截得的弦长问题、求椭圆方程的问题等。但不管怎样，只要理清楚椭圆和直线所涉及的各个变量的运算方式和相关公式，要解决整个问题就不难，所谓万变不离其宗，其道理是一?拥摹? 　　四、结语 　　直线和椭圆之间的相关联系，一直都是高中数学教学中备受关注的，能够理清两者之间的交点问题，还是能够解决大部分