第三届伊朗几何奥林匹克(2016)_数学_自然科学_专业资料.pdfVIP

34 中 等 数 学 第 三 届 伊 朗 几 何 奥 林 匹 克 (2016) 中图分类号：G424．79 文献标识码：A 文章编号：1005—6416(2017)03—0034—07 第三届伊朗几何奥林匹克于2016年9月8日举行。来 自伊朗和伊朗以外的30个国家的 2500余名学生参加了比赛。中国人民大学附属中学、清华大学附属中学、北京市第四中学、上 海市上海中学、华东师范大学第二附属中学、复旦大学附属中学、上海市市北初级中学、上海市 华育中学等学校参加了比赛。 初 级 1．如图 1，艾利打算从点 ／I走到点 日，要 求他不能走进阴影区域 ，但是可以在白色区 域沿任意方 向行走 (可 以在整个平面上移 动，不仅仅沿网格线)．请帮助艾利找到点 、 B之间的最短路径，只需画出路径，并写出其 长度． ㈠ 一 _J‘一J__一L__L__．_l__J__一图 In2++吾号h(())in33++了1++1．． ∑n=∑( 。焘 ) 由in2__1，ln3 1 ≤ 厶。十cJI a)． 2h(0)3 又由幂平均不等式得 2口+l3， 即当n= +1时，结论也成立． 吉∑ ≤ = ． 由归纳假设 ，知对一切整数 忍i3，均有 故∑。≤ ∑Ⅱ(∑焘 ) 20 3． 于是，[ ]=1，[n]=2(ni2)． 故S=[0]+[0：]+…+[n] ∑焘≥惫√3“ · = 1+2(n一1)=2n一1． 由已知及均值不等式得 五、不妨设 0≤6≤c．则 n√厂b一+一C≥ ~n厂／c——+——n一≥ n√厂0———+—一b ∑口≥3 3． ， 焘 ≤志 ≤志 · 故∑焘 ≥3· 由切比雪夫不等式得 2017年第 3期 35 2．如图2，在△ABC中，ACAB，圆厂为 △ABC的外接圆．设 为线段AC上一点，y 为圆厂上一点 (点 、y在直线BC的异侧)， 满足CX=CY：AB，直线XY与圆，的另一个 交点为P．证明：PB=PC． P 图 3 C 3．已知某三角形能被划分成 Ⅳ个彼此 相似的四边形．求正整数Ⅳ的所有可能值． 4．在 Rt△ABC中， BAC=90。，△ABC 图 2 的外接圆厂在点A处的切线与BC交于点 3．设 凸四边形 ABCD 的两组对边不平 P，M为劣弧 的中点，线段 与圆厂的另 行，以其任意一对邻边作平行四边形，每个平 一 个交点为 Q，圆厂在点 Q处的切线与AC 行四边形均含有一个不同于点A、B、C、D的 交于点尼证明： PKC=90。． 新顶点．证 明：所作的四个新顶点中，恰有一