第2章 第9节 函数模型及其应用 Word版含答案.docVIP

第2章 第9节 函数模型及其应用 [考纲传真]　1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 1．常见的几种函数模型 (1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． (2)反比例函数模型：y＝＋b(k，b为常数且k≠0)． (3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)． (4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)． (5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)． (6)幂函数模型：y＝a·xn＋b(a≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较 　　函数 性质　　 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 3.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)幂函数增长比直线增长更快．(　　) (3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　) (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(　　) 2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到(　　) A．100只　 B．200只 C．300只 D．400只 3．在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61 A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x 4．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(　　) 5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________． 用函数图象刻画变化过程 　(1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是(　　) A　　　　 B　　　　　 C　　　　 D (2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) A　　　　　　B　　　 C　　　　　 D [变式训练1]　设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　) 应用所给函数模型解决实际问题 　某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测， A产品的利润与投资成正比，其关系如图2-9-1①；B产品的 利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2-9-1②.(注： 利润和投资单位：万元) (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ [变式训练2]　某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2017年前三个月的煤气费如下表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4元 二月份 25 m3 14