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泛函分析复习题 一．选择题： 1. 设 是希尔伯特空间H上的一组规范正交系，则下列论断未必正确的是 ( ) A. 线性无关； B. 对任何的， 都有； C. 任意两组数，都有 ； D. ，。 2. 下列关于空间（且）的论述不正确的是（ ） A. 空间是一个赋范线性空间； B. 空间是完备的； C. 空间是距离空间； D. 空间是希尔伯特空间。 3. 下列关于空间的论述不正确的是（ ） A. 空间是一个赋范线性空间； B. 空间不一定完备的； C. 空间是内积空间； D. 空间是可分的。 4. 设为一个实赋范线性空间，为他上面的范数，则下面不正确的是（ ） A. 对任何，都有， B. 对任何，都有 ， C. 对任何，，都有， D. 对任何，，都有。 5. 设为一个距离空间，下面不正确的是（ ） A. 和空集都是开集； B. 任意多个开集的并还是开集； C. 任意多个开集的交也是开集； D. 有限多个开集的交也是开集。 6. 设为一个距离空间，下面不正确的是（ ） A. 和空集都是闭集； B. 任意多个闭集的并还是闭集； C. 任意多个闭集的交也是闭集； D. 有限多个闭集的并也是闭集。 7. 下面论述正确的是（ ） A. 紧集不一定是有界的。 B. 紧集的子集一定是紧集。 C. 任一距离空间中的紧集本身是一个完备的距离空间。 D. 连续映射有可能将紧集映成非紧集。 8. 下面为不可分距离空间的是（ ） A． B. () C. D. 9. 设为实数域，，那么下面正确的是（ ） A. B. C. D. 与之间没有相互包含关系。 10. 设为有界闭区间，，那么下面正确的是（ ） A. B. C. D. 与之间没有相互包含关系。 二．判断题： 1. 任何紧集都是有界的。 （ ） 2. 紧集的子集还是紧集。 （ ） 3. 希尔伯特空间不一定是巴拿赫空间。 （ ） 4. 实的可分希尔伯特空间一定与实的空间同构。 （ ） 5. 可分希尔伯特空间中的规范正交系中向量最多可数个。 （ ） 6. 设为实数域上的闭区间，那么在 （）中稠密。 （ ） 7. 设为实数域上的闭区间，为区间上的所有多项式函数的集合，那么在 （）中不稠密。 （ ） 8. 设为实数域上的闭区间，为区间上的所有多项式函数的集合，那么在中稠密。 （ ） 9. 同一个线性空间可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。（ ） 10. 可以赋予不同的范数，但是这些不同的范数一定是等价的。 （ ） 三．概念题： 1. 什么是距离空间？举两个距离空间的例子。 2. 什么是赋范线性空间和巴拿赫空间？举两个巴拿赫空间的例子。 3. 什么是距离空间中的准紧集和紧集？ 4. 什么是内积空间和希尔伯特空间？举两个希尔伯特空间的例子。 5. 内积空间的规范正交系的定义什么？ 6. 写出（）空间中范数的定义。 7. 什么是赫尔德不等式？ 8. 什么是距离空间的可分性？ 四． 计算或证明题： 1. 设是一个希尔伯特空间，为的一个子集。证明 是的一个闭子空间。（下册P98） 2. 设，证明的傅里叶变换是有界连续函数。（上册P251） 3. 设为一个距离空间。试证： （1）若中点列收敛于，则任何子列也收敛于。 （2）若中点列为一个Cauchy列，并且存在一个子列收敛，极限为，则也收敛，极限也为。（下册P12） 4. 设为一个距离空间，为任一给定的点，则是到的连续映射。（下册P20） 5. 设为一个希尔伯特空间，其上的内积为。试证：对于 ，是关于，的连续函数。（下册P89） 6. 试在上定义一个范数（给出证明），使其成为一个巴拿赫空间（给出证明）。（下册P75，P77） 7. 设为一个希尔伯特空间，，证明：的充分必要条件是对任何的数，有。（下册P123习题23） 8. 设，，为满足的三个正数。证明：对任何可测函数，，有 。 （上册P269， 15题） 9. 计算函数的傅里叶变换。（上册P250） 10. 举一个不可分巴拿赫空间的例子？并证明它为什么不可分。（下册P18，例5，或下册P120，习题5） 11. 证明内积空间中的任何规范正交系都是线性无关的。（下册 P123， 28题） 12. 设空间中的范数为（）。证明此范数下不能导出一个内积。 （下册P97，例5） 13. 设为一个赋范线性空间，其上的范数为，证明以下命题： （1）范数是的连续函数； （2）设，（）与都是中的元素，且，，那么 ； （3）设数列， （）及都是中的元素，且，那么 . （下册P73，性质(i)(ii)(iii)） 14. 设按照距离为距离空间，