常微分方程数值解法-欧拉方法.docVIP

课 题 报 告 题目：常微分方程的数值解法-欧拉方法 院 (系)： 理学院 专 业： 数学与信息专业 指导教师： 岳宗敏 组 员： 艾佳欢(组长) 邓云娜 柏茜 钟岩 刘磊 2015 年 5 月 11 日 常微分方程数值解法-欧拉方法 摘要：从常微分方程数值解的基本概念入手，了解最基本的数值解法--欧拉方法。并利用欧拉方法显式隐式的特点探究如何求解微分方程，以及欧拉方法的误差分析及校正。 关键词：数值解，欧拉方法，误差，校正 ABSTRACT: From the basic concept of numerical solution of ordinary differential equations, and understand the most basic numerical solution of euler method. And by using euler explicitly implicit characteristics and explore how to solve differential equations and the error analysis and correction of euler method. KEYWORDS：arithmetic solution,Eulers method,error,revise 1.初值问题数值解基本概念 初值问题的数值解法，是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。 在上引入节点称为步长。在多数情况下，采用等步长，即。记准确解为,记的近似值为,记为.一阶常微分方程的初值问题 若在内连续，且满足条件：使 ，则初值问题的连续可微解在上唯一存在， 称解在节点处的近似值为其数值解，该方法称为数值方法。 2. Euler方法 在工程计算中许多实际问题的数学模型都可以用常微分方程来描述。除少常系数线性微分方程和少数特殊的微分方程可用解析方法求解外，大多数常微分方程难以求得其精确解。因此研究常微分方程的数值解法具有重要的意义。本课题研究的是关于常微分方程初值问题的最简单的数值解法，单步法中的一种---Euler方法。 2.1 显式Euler方法 设节点为。初值问题的显式Euler方法为 （2.1） 其中 2.1.1显式Euler方法的导出 方法1：Taylor展开法： 将在点进行Taylor展开,得 忽略这一阶项,分别用近似，和，得。结合初值条件即得（2.1）。 方法 2：向前差分近似微分法： 用向前差分近似微分，得 将近似号改作等号，用近似，，并结合初值条件即得（2.1）。 方法3：左矩数值积分法： 将（1.1）两边从到积分得 用，近似、，数值积分采用左矩公式得，从而亦得（2.1） Euler方法有几何意义，如下图，式（1.1）过点，且具斜率。从出发以为斜率作直线 段，交于，显然。式（1.1）的解曲线具有斜率从出发以为斜率作直线要交于，余类推。这样我们得到一条折线，它在点的右侧具有斜率，与（1.1）的解曲线相切。我们取折线，作为（1.1））的近似曲线，所以Euler方法又称折线法。 例1取h=0.1，利用Euler公式求解 解：欧拉公式的具体形式为: 其中，已知，由此式可得: ... ... .... 依次计算可得 ，，，，，，， 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 数值解 1.191818 1.358213 1.508966 1.649783 1.784770 准确解 1.183216 1.341641 1.483240 1.612452 1.732051 2.2 隐式 Euler方法和梯形方法 若将在展开 、忽略项，用和分别近似，及可以得另一计算公式 （2.2） （2．2）式称为隐式Enler方法。隐式Euler方法也可以利用向后差分近似微分或用右矩数值求积公式来建立。 隐式 Euler方法(2.5)给出了要满足的方程，要通过解方程才能得到。 在显式和稳式Euler方法中，忽略的项都是项，为了得到更高精确度的方法，我们可将 取平均得 当三次连续可微时,。忽略项，用