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泛函分析知识总结与举例、应用学习感悟 度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是维欧氏空间（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 （非负性） 2°d(x,y)= d(y,x) （对称性） 3°对z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式） 则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离（matric或distance）和，则我们认为(X, )和(X, )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若，则称为“X中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d，而称“度量空间X” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,y∈X，令 ，则称（X，d）； 1.13 有界函数空间B(A)：A是给定的集合，B(A)表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y，定义d(x,y)＝ 1.14 可测函数空间M(X)：M(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体。 1.15 C[a,b]空间（重要的度量空间）：C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对C[a,b]中任意两点x,y，定义 d(x,y)＝ 1.16 ：无限维空间（重要的度量空间） ★ 例1.15、1.16是考试中常考的度量空间。 2．度量空间中的极限，稠密集，可分空间 2.1 的—领域：设（X，d）为度量空间，d是距离，定义 为的以为半径的开球，亦称 为的—领域。 注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。 2.2度量空间的收敛点列：设(X，d)是一个度量空间，是（X，d）中点列,如果存在，收敛于，使，即，称点列是（X，d）中的收敛点列，x叫做点列的极限，且收敛点列的极限是唯一的。 注：度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。 2.3有界集：设M是度量空间（X，d）中的点集，定义为点集M的直径。若，则称M为（X，d）中的有界集。 （类似于，我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集） 2.4闭集：A是闭集A中任意收敛点列的极限都在A中，即若，n=1,2，.,则。（要会证明） 2.5举例 2.5.1 n维欧氏空间中，点列依距离收敛依分量收敛。 2.5.2 C[a,b]空间中，点列依距离收敛依分量一致收敛。 2.5.3 序列空间S中，点列依坐标收敛。 2.5.4 可测函数空间M(X)：函数列依测度收敛于f，即 。 2.6稠密子集和可分度量空间 有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。 2.6.1定义：设 X是度量空间，E和M是X的两个子集，令表示M的闭包，如果E?，则称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间。 注：可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X中一定有稠密的可数集。这时必有X中的有限个或可数个点在X中稠密。 2.6.2举例 ①n维欧式空间是可分空间：坐标为有理数的全体是的可数稠密子集。 ②离散度量空间X可分X是可数集。 （因为X中无稠密真子集，X中唯一的稠密只有X本身） ③是不可分空间。 数学知识间都有联系，现根据直线上函数连续性的定义，引进了度量空间中映射连续性的概念。 3. 连续映射 3.1定义：设X=（X，d） Y=（Y，）是两个度量空间，T是X到Y中的映射?X，如果对ε0，δ0 ，使对X中一切满足d（x，）δ的x，有，则称T在连续。 （度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间 时，映射就是度量空间上的函数。） 注：对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。下面用邻域描述：对T的ε-邻域U，存在的某个δ—邻域V，使TVU，其中TV表示V在映射T作用下的像。 3.2 定理1：设T是度量空间（X，d）到度量空间（Y，）中映射， T在连续?当时，必有。 在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。 3.3 原像的定义：映射T在X的每一点都连续，则称T是X上的连续映射，称集合{x∣x∈X，Tx?M?Y}为集合M在映射T下的原像，简记为。 ★可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。 3.4定理2：度量空间X到Y中的映射T是X上连续映射?Y中任意开