存在性问题2.docVIP

中考中存在性问题 存在性问题是一种常见的探索性问题，也是中考中命题者用来考查同学们探索能力、猜想能力和归纳能力的常用题型之一，其解法的一般思路是假设存在，然后导出某个结论，如果该结论合理，则说明假设成立，其结论存在；如果该结论不合理，则说明假设错误，所探索的结论不存在． （1）由数量关系确定的“存在性”问题 这种类型的“存在性”问题，解决的方法主要是借助于构造方程。 例1如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10． 点E在下底边BC上，点F在腰AB上． （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积； （2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由； （3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．析解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高为4，面积为28． 过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，则根据已知可求得：， ∴； （2）存在．理由是： 由（1），得．解得x1=7，x2=5（舍去）； ∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7； （3）不存在．理由是： 假设存在，则S△BEF∶SAFECD=1∶2，（BE+BF）∶（AF+AD+CE＋DC）=1∶2， 则有．整理，得：3x2－24x+70=0． 因为方程没有实数解，∴不存在这样的实数x． 即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分．是边长为6的正方形，动点P从 A点P出发，以每秒1个单位的速度沿边向点运动，动点 从点出发，以每秒3个单位的速度沿边 运动，两点同时出发，点P到达处时两点运动停止，记的运动 时间为。 （1）是否存在时刻，使线段将正方形的周长分为相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 （2）是否存在时刻，，使线段将正方形的面积分为1：2两部分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 例2如图2，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴交于A、C两点． （1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式； （2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：点D在l2上； （3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由． 析解：（1）设l2的解析式为y=a（x-h）2+k， ∵l与x轴的交点A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l1与l2关于x轴对称， ∴l2过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）． ∴y=ax2+4．∴0=4a+4，得a=-1． ∴l2的解析式为y=-x2+4； （）设B（x1，y1），∵点B在l1上，∴B（x1，x12-4）， ∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称， ∴B、D关于O对称，∴D（-x1，-x12+4）． 将D（-x1，-x12+4）的坐标代入l2：y=-x2+4，得 左边=右边，∴点D在l2上； （）设平行四边形ABCD的面积为S，则 ， ①当点B在x轴上方时，y1＞0， ∴S=4y1，它是关于y1的正比例函数，且S随y1的增大而增大． ∴S既无最大值也无最小值； ②当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0， ∴S=-4y1，它是关于y1的正比例函数，且S随y1的增大而减小． ∴当y1=-4时，S有最大值16，但没有最小值，此时B（0，-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上． ∴AC⊥BD． ∴平行四边形ABCD是菱形，此时S最大=16．的图象如图所示，过轴上一点 的直线与抛物线交于两点，过点分别作轴的 垂线，垂足分别为。 （1）当点A的横坐标为时，求点B的坐标； （2）在（1）的情况下，分别过点作轴于，轴于在上是否存在点，使为直角，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由。 一、二次函数中有关面积的存在性问题 例3（10山东潍坊）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形的面积为求直线的函数关系式； (3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 二、二次函数中构建直角三角形与相似形的存在性问题 例4如图，抛物线与x轴交于A（－1，03，0（0，－3） 三、二次函数中构建等腰三角形的存在性问题 例510重庆潼南