圆锥曲线的存在性问题F.docVIP

圆锥曲线中的存在性问题 例1(2009湖北卷理)（本小题满分14分） 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。 （Ⅰ）当时，求证：⊥； （Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 解 依题意，可设直线MN的方程为， 则有 由 ，消去x可得 从而有 ① 于是 ② 又由，可得 ③ （Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线 此时 ①可得 证法1： 证法2： (Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下： 证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有 将①、②、③代入上式化简可得 上式恒成立，即对任意成立 证法2：如图2，连接,则由可得 ,所以直线经过原点O， 同理可证直线也经过原点O 又设则 例2.（2009福建卷理）（本小题满分13分） 已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a0）与x轴 的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T. (1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标； （II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 解 方法一 (Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°. (1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又AB=2,故在△SAE中,有 (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上, (Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SB为直线的圆上,故. 显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为. 由 设点 故,从而. 亦即 由得 由,可得即 经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线. 方法二: (Ⅰ)同方法一. (Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线. 由于点M在以SO为直径的圆上,故. 显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为 由 设点,则有 故 由所直线SM的方程为 O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即. 故存在,使得O,M,S三点共线. 例3（2010福建文数） 已知抛物线C：过点A （1 , -2）。 （I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。K^S*5U.C#O 例4（2010湖北文数）20.（本小题满分13分） 已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1。 （Ⅰ）求曲线C的方程 （Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。 例5.（2009上海卷文）（本题满分16分） 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F，一条渐近线m:,设过点A的直线l的方向向量。 求双曲线C的方程； 若过原点的直线，且a与l的距离为，求K的值； 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为. （1）解 设双曲线的方程为 ，解得，双曲线的方程为 （2）解 直线，直线 由题意，得，解得 （3）证明 方法一 设过原点且平行于的直线 则直线与的距离当时， 又双曲线的渐近线为 双曲线的右支在直线的右下方， 双曲线右支上的任意点到直线的距离大于。 故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为 （3）方法二 假设双曲线右支上存在点到直线的距离为， 则 由（1）得 设， 当时，； 将代入（2）得 ， 方程不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为 例6如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程； （Ⅱ）设直线、的斜率分别为