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动点问题存在性问题小结
动点问题和存在性问题小结训练 一、基础训练 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示对称轴为X=﹣.下列结论中,正确的是( ) A.abc>0 B.a+b=0 C.2b+c>0 D.4a+c<2b 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列结论: ① b2-4ac0;② 2a+b0;③ 4a-2b+c=0;④ a:b:c= -1:2:3. 其中正确的是( ) (A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D)①④ 3.已知二次函数的图象过(-2,0)、(4,0)、(0,3)三点,求这个二次函数的关系式.已知二次函数的图象过(3,0)、(2,-3)二点,且对称轴是x=1,求这个二次函数的关系式.角坐标系中,抛物线经过 A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M是抛物线对称轴上一点,求AM+OM的最小值. 二、温故提升 1.如图,在△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,有一动点P从A沿AB移动到B,移动速度为2单位/秒,有一动点Q从C沿CA移动到A,移动速度为1单位/秒,问两动点同时移动多少时间时,△PQA与△BCA相似。 2.如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题: (1)当t=2时,判断△BPQ的形状,并说明理由; (2)设△BPQ的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ? 3.如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于 点. (1)请求出抛物线顶点的坐标(用含的代数式表示),两点的坐标; (2)经探究可知,与的面积比不变,试求出这个比值; (3)是否存在使为直角三角形的抛物线?若存在,请求出;如果不存在,请说明理由. 解:(1)两点的坐标为()、(). (2)当时,,点的坐标为.分 (3)存在使为直角三角形的抛物线. 过点作于点,则为,①如果是②如果是,存在抛物线,使得是;③如果是,且,那么 即整理得此方程无解. 综上所述,存在抛物线和 使得是. 4.如图, 已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1). (1)求抛物线的解析式; (2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标; (3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由. 答案:解:(1)∵二次函数的图像经过点A(2,0)C(0,-1) ∴ 解得: b=- c=-1 ∴二次函数的解析式为 (2)设点D的坐标为(m,0) (0<m<2) ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE∽△AOC得, ∴ ∴DE= ∴△CDE的面积=××m == 当m=1时,△CDE的面积最大 ∴点D的坐标为(1,0) (3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为 设y=0则 解得:x1=2 x2=-1 ∴点B的坐标为(-1,0) C(0,-1) 设直线BC的解析式为:y=kx+b ∴ 解得:k=-1 b=-1 ∴直线BC的解析式为: y=-x-1 在Rt△AOC中,∠AOC=900 OA=2 OC=1 由勾股定理得:AC= ∵点B(-1,0) 点C(0,-1) ∴OB=OC ∠BCO=450 ①当以点C为顶点且PC=AC=时, 设P(k, -k-1) 过点P作PH⊥y轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450 CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=, k2=- ∴P1(,-) P2(-,) ②以A为顶点,即AC=AP= 设P(k, -k-1) 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2-k∣ GP=∣-k-1∣ 在Rt△APG中 AG2+PG2=AP2 (2-k)2+(-k-1)2=5 解得:k1=1,k2=0(舍) ∴P3(1, -2) ③以P为顶点,PC=AP设P(k, -k-1) 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ∴L(k,0) ∴△QPC为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=k ∴AL=∣k-2∣, PL=|-k-1| 在Rt△PLA中 (k)2=(k-2)2+(k+1)2 解得:k=∴P4(,-) 综上所述: 存在四
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