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两直线的位置关系（第五课时） 点到直线的距离 掌握点到直线的距离公式及其推导方法，并能熟练运用这一公式． 进一步体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力． 教学重点、难点：点到直线的距离公式、推导方法及其应用． 教学过程： 一、复习 1．平面上两点间的距离公式是什么？ 2．什么是点到直线的距离？ 3．什么是两平行线之间的距离？ 二、新课讲解 点到直线的距离公式及其推导 问题：在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线的方程是，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢？ 思路一：根据定义，求点到直线的垂线段的长，此思路自然，但运算较繁． 思路二：设，这时与轴、轴都相交． 如图：过作轴的平行线，交于点； 作轴的平行线，交于点， 由，， 得，， ∴=， =， ， 由三角形面积公式知：， ∴=， 当时，以上公式仍适用． 点到直线的距离公式：点到直线：的距离公式：=． 思路三（参考）：利用向量知识求点到直线的距离公式：如图，在上任取一点，可得到直角三角形.作向量，向量是直线的一个法向量，设向量与的夹角为.∵点在直线上，∴，即， 又， ∴ 而，故. 三、例题分析 例1．求点到下列直线的距离： （1）； （2）． 解：（1）由点到直线的距离公式，得， （2）因为直线 平行于轴，所以 =． 例2．求平行线和 的距离． 解：在直线上任取一点，例如取，则点到直线的距离就是两平行线之间的距离，∴． 思考：是否可以在直线上取一般的点来求距离？ 结论：两条平行线：，：之间的距离为，则． 例3．求过点，且与原点的距离等于的直线方程． 解：当斜率不存在时，方程为，不适合， 当斜率存在时，设方程为：，即， 由题意：， 解得或， 所以，所求的直线方程为：或． 例4．过两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程： （1）两平行线间的距离为； （2）这两条直线各自绕、旋转，使它们之间的距离取最大值． 解：（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为，满足题意， 当两直线的斜率存在时，设方程分别为与， 即： 与，由题意：，解得， 所以，所求的直线方程分别为：， 综上：所求的直线方程分别为：，或． （2）由（1）当两直线的斜率存在时，，∴， ∴， ∴，即， ∴，∴，∴，当，． 当两直线的斜率不存在时，， ∴， 此时两直线的方程分别为，． 另解：结合图形，当两直线与垂直时，两直线之间距离最大，最大值为，同上可求得两直线的方程． 四、本课小结 1．点到直线的距离、两平行线之间的距离公式及其应用． 2．与距离有关的直线方程的求法：待定系数法，要注意讨论斜率是否存在． 五、作业补充 1．求经过点且与原点距离等于的直线的方程． 2．已知正方形的中心和一边所在的直线方程为，求其他三边所在的直线方程． 1 ①