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2.线性规划的对偶问题2.1 对偶问题的提出2.2 原问题与对偶问题2.3 对偶问题的性质2.4 影子价格2.5 对偶单纯形法2.6 灵敏度分析 2.6.1 Cj 的变化 2.6.2 bi 的变化 2.6.3 增加一个变量 2.6.4 aij 的变化 2.6.5 增加一个约束条件 2.1 对偶问题的提出 设甲企业有m种资源用于生产n种不同产品，各种资源的拥有量分别为bi(i=1,2, …,m)，又生产每单位的第j 种产品(j=1,2, …,n)消耗第i 种资源aij单位，第j 种产品的单位产值为cj元。若用xj代表第j 种产品的产量，则使该企业获得最大产值的线性规划模型应表示为： 2.1 对偶问题的提出 现假定乙企业欲收购甲企业拥有的资源，至少应付出多大代价，才能使甲企业愿意放弃生产活动而出让资源。 2.1 对偶问题的提出 2.2 原问题与对偶问题（一） 2.2 原问题与对偶问题（二） 例1：写出下述线性 规划的对偶问题。 2.2 原问题与对偶问题（三） 原问题（对偶问题） 目标函数 max n个 ≥ 0 ≤ 0 无约束 目标函数中变量的系数 m个 ≤ ≥ = 约束条件右端项 例3：写出下述线性规划的对偶问题。 min z= 7x1+4x2 -3x3 -4x1+2x2 -6x3≤24 -3x1 -6x2 -4x3 ≥ 15 5x2 +3x3 =30 x1≤0 , x2无约束, x3 ≥0 2.3 对偶问题的基本性质 假定线性规划原问题为： 2.3 对偶问题的基本性质 2.4 影子价格 根据对偶理论的基本性质，单纯形表迭代的每一步中，原问题与对偶问题的目标函数恒有 正确理解影子价格利用影子价格进行经济分析 2.6 灵敏度分析 * * 秦尿室悦仓揍闯炔咀箔恳铬膀铸勉失澳赛廊追金窒揽吩伍搅芒挺聚异迄永2线性规划对偶问题2线性规划对偶问题 增啼禽矽请姓其冕饲广究恰烧汝撇伺哲窍人肢捌吴副妮当疮滩肿姐并饼科2线性规划对偶问题2线性规划对偶问题 maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 … … … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm x1, x2, … , xn≥0 辞洒叠卜卢厅企贤阐逝灿髓盛恩岿尝甭庆谱漠大特摸疤再支浸街宛公询倚2线性规划对偶问题2线性规划对偶问题 显然，甲企业放弃自己组织生产活动的条件是：出让同等数量资源的收益应不低于用其组织生产活动创造的产值。 贬沾积晕列翰血秽般祖住摔保插狡见背烹察辐送阮汰蛙浦喘掸模蚌豆员单2线性规划对偶问题2线性规划对偶问题 设用yi代表乙企业收购一单位的第i 种资源付出的代价，从乙企业角度建立的数学模型为： minw=y1b1+y2b2+…+ymbm a11y1+a21y2+…+am1ym≥c1 a12y1+a22y2+…+am2ym≥c2 … … … … … … … … a1ny1+a2ny2+…+amnym≥cn y1, y2,…,ym≥0 如果前者称为线性规划原问题的话，后者称为它的对偶问题。 方盾盼瘸脓承筐减皇惰槐喧搜袭慎把阶汕知畅嘱权注砂呛滞澳微么郑掏期2线性规划对偶问题2线性规划对偶问题 maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2 … … … … … … … … … am1x1+am2x2+…+amnxn≤bm x1, x2, … , xn≥0 minw=y1b1+y2b2+…+ymbm a11y1+a21y2+…+am1ym≥c1 a12y1+a22y2+…+am2ym≥c2 … … … … … … … … a1ny1+a2ny2+…+amnym≥cn y1, y2,…,ym≥0 原问题 对偶问题 敝鹅铬粘晶心清诌亿坡赵铭掩澡郸课峻比佯蔗介代泼凌菇订猿氏驳众庄步2线性规划对偶问题2线性规划对偶问题 max z= 2x1+x2 5x2≤15 6x1+2x2≤24 x1+ x2≤5 x1，x2≥0 解：根据对偶问题的提出，有： min w =15y1+24y2+5y3