g第七章 在最优化问题中的比较静态分析.pptVIP

由包络定理可知 两式相除即可得欲证结论 支出最小化问题 所得最优点 为希克斯需求函数，代入目标函数所得最小值函数为支出函数 例 拉格朗日函数为 一阶条件 最优点（希克斯需求函数） 代入目标函数可得支出函数 谢泼德引理 令 为商品 的希克斯需求函数，则 证明 支出最小化问题的拉格朗日函数为 由包络定理可得 例 支出函数为 ，求希克斯需求函数 由谢泼德引理可知 与上例吻合 一致性 例 间接效用函数为 一致性 求支出函数 由一致性 可知 解之得 其为欲求的支出函数。 斯拉斯基方程再讨论 由一致性可知 令 ，则 对其求导可得 而根据谢泼德引理 则 或者 成本最小化问题 所得最优点 为厂商的条件需求函数，代入目标函数所得最小值函数则为厂商的成本函数 谢泼德引理 令 为厂商投入品的条件需求函数而 为厂商的成本函数，有 证明 成本最小化问题的拉格朗日函数为 由包络定理可知 例 成本最小化问题 拉格朗日函数 一阶条件 最优点 成本函数 成本函数关于要素价格求导并加以整理可得 利润最大化问题 最优点 这被称作厂商的供给函数，代入目标函数可得利润函数 定理：霍特林引理 令 为竞争性厂商的供给函数， 为厂商对投入品的需求函数而 为厂商的总利润函数。 有 证明 利润最大化问题 拉格朗日函数好 由包络定理可得 例 竞争性厂商成本函数为 令 ，则总利润函数为 一阶条件 供给函数 总利润函数 总利润函数关于产量和要素价格求导，整理可得 一个例证 考虑一个效用函数为U=xy的消费者,预算约束为B,给定商品价格为Px,Py,选择问题: Max U=xy s.t. Pxx+Pyy=B. 拉格朗日函数为: Z=xy+?(B-Pxx-Pyy) 一阶条件为: Zx=y-?Px=0, Zx=x-?Py=0, Z?=B-Pxx-Pyy=0 求解一阶条件: xm=B/2Px,ym=B/2Py, ?m=B/2PxPy 把上述解代入效用函数,从问题中推导出间接效用函数: V(Px,Py,B)=U*=(B/2Px)(B/2Py)=B2/4PxPy 调整后得到B=(4PxPyU*)1/2=2Px1/2Py1/2U*1/2 消费者的对偶问题支出最小化问题中最小支出函数E应该等于基本问题中给定的预算B,于是立即得到: E(Px,Py,U*)=B=2Px1/2Py1/2U*1/2 关于罗伊恒等式的证明: 考虑给定前例中的效用水平而得到的对偶问题:成本最小化问题.U*表示目标效用水平,那么问题为: Min Pxx+Pyy s.t. xy=U* 拉格朗日函数为: Zd=Pxx+Pyy+?(U*-xy) 一阶条件为: Zdx=Px-?y=0, Zdy=Py-?y=0, Zd?= U*-xy=0 求解得到: 将解代入初始目标函数得到极小值函数或支出函数: E=Pxxh+Pyyh=2Px1/2Py1/2U*1/2 检验谢泼德引理的有效性: (对支出函数求偏导) 第七章 最优化问题中的比较静态分析 第1节 引言 在最优化问题中，最优解为参数的函数，在经济模型中，参数常常是外生变量而最优解为内生变量，在最优化问题相关联的比较静态分析中我们感兴趣的是：一，当某一个参数或者外生变量变化时，最优解或者均衡值如何发生变动？二，当某一个参数变动时，目标函数的最优值如何变动？ 本章在无约束最优化和有约束最优化框架下对其进行探讨 第2节 无约束最优化 为最优（最大或者最小）值函数 定理：包络定理 I 变动对