求线段和的最小值.pptVIP

求线段和的最小值 三门九年制学校 温晓艳 一、复习回顾 一牧童在A处牧马，牧童的家在B处，A、B处距河岸的距离分别是AC=500m，BD=700m，且C、D两地间距离也为500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水，再赶回家，为了使所走的路程最短．牧童应将马赶到河边的什么地点？请你在图中画出来．并求出最短路程。 A B D C 700m 500m 500m A’ P E （易知Rt △ABC ,A’E=1200m,BE=500m, 可得A’B=1300m。） l A B A’ P 模型： ①一条直线l； ②线同侧有两个不同点A、B， 要求：在线l上找一点，满足 PA+PB 最短。 方法：选择合适的一点A，作其关于直线l的对称点A’，连接A’B，交直线l于点P，此时PA+PB最短。 （1）如图，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点.若AE=2,EM+BM的最小值为??? . E D C B A M 析：由图知，B关于AD的对称点为C，连接EC交AD于点M，此时EM+BM最小为EC. 二、教学过程 1、在三角形中求线段和的最小值 法一： M E D C B A 6 2 F M E D C B A 6 2 F 法二： 过点E作EF ⊥AD，垂足为F。 由 可得 EF=1,AF= ,FD= . 由 可得FM= ，MD = . 在 中， 可得EM= ,MC= . 因此CE= . 过点E作EF ⊥BC，垂足为F。 在Rt△BEF中，∠ B=60°，BE=4.可得 EF= ,BF=2. 在Rt △EFC中，FC=4，因此CE= 2、在四边形中求线段和的最小值 ? （2）、如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为?? ． A E D C B F P 析：由图知，B关于EF的对称点为C，连接AC交EF于点P，此时PA+PB值最小为AC。 解，由题得∠D= ∠ DAB=120 °， ∵DA=DC, ∴ ∠ DAC=∠DCA=30 °, ∴ ∠BAC=90 °. 在Rt △ABC中，AC= （3）、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为??___． D E C B A 2 P 析：由图知，B关于AC的对称点为D，连接DE交AC于点P，此时PE+PB值最小为DE。 解： ∵ ∠BAD=60 °，菱形ABCD ∴ △ ADB为等边三角形， ∵ E为AB中点 ∴ DE ⊥ AB， 在Rt △DEA中，DA=2,∴DE= （4）、如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 ??___cm．（结果不取近似值）． A Q D C B P 析：△PBQ周长=PB+PQ+BQ=PB+PQ+1，要求△PBQ周长的最小值即求PB+PQ的最小值。 解：在Rt △DQC中，DC=2，QC=1， 可得DQ= ，则△PBQ的周长最小值为（ ）cm。 由图知，B关于AC的对称点为D，连接DQ交AC于点P，此时PB+PQ值最小为DQ。 3、在圆中求线段和的最小值 （5）、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( ) P A’ M O N B A 30 ° 析：作点A关于MN的对称点A’，连接A’B交MN于点P，此时PA+PB最小为A’B. 解：连接OB、OA’， ∵ ∠AMN＝30° ∴ ∠AON＝60°= ∠A ’ON, ∵B为弧AN中点,∴ ∠BON=30 °，∴ ∠BOA’=90 °. △OBA’为等腰直角三角形，因此A’B= . 4、在反比例函数图象中求线段和的最小值 （6）、如图，正比例函数 的图象与反比例函数 （k≠0） 在第一象限的图象交于A点，过A点作X轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1. ? ①求反比例