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电子科技大学 连续型随机变量 * §2.3 连续型随机变量 一、概率密度函数 例子 定义 设随机变量X 的分布函数为F( x ), 若存在非负函数 f ( x ), 对于任意实数 x , 均有 称随机变量X 是连续型随机变量,称函数 f ( x ) 为X 的概率密度函数. 射击试验 仪器寿命问题 注 (1) 连续型随机变量X 的分布函数是连续函数. 即F(x )在x 处左连续，故F(x )在x 处连续. 证 由分布函数的性质可知，F(x )在x 处右连续， 对于Dx 0, （2）X 是连续型随机变量，则对任意实数x0 ∈R，有 P{ X = x0 } = 0 令Dx → 0，由F(x )的连续性有 故 P{ X = x0 } = 0. （3）P( f ) = 0, 但是其逆不真. 概率密度函数的性质 若函数f ( x )满足上述(1)和(2),则它必是某个随机变量的概率密度. 0 ≤ P{ X = x0 } = F(x)-F(x - Dx) → 0 概率曲线下 总面积为1 (4) 若f ( x )在点x 处连续,则有 证明 性质的应用实例 概率密度判定 函数参数确定 概率的计算 二、 均匀分布和指数分布 (1) 均匀分布 设随机变量X 的概率密度函数为 称随机变量X 在区间 (a, b ) 上服从均匀分布,记为X ~ U( a, b ). 特点1 随机变量X 概率为1在 (a, b ) 上取值； 特点2 随机变量X落在 (a, b ) 的子区间的概率与位置无关，仅与长度成正比. o a b 即对于( c, c + l ) (a, b ) ，有 ∪ c d c+l d+l 应用 (1) 大量试验服从均匀分布; (2) 是计算机摸拟的基础. 例如 参见例子 (2) 指数分布 设随机变量X的概率密度函数为 称随机变量X 服从参数为 l 的指数分布. ( l 0) 特点 指数分布具有无后效性.即有(P52例2.3.4） P{ X t + s | X t } = P{ X s } 参见例子 三、正态分布(GAUSS 分布) 设随机变量X 的概率密度函数为 R x ∈ j( x; m, s2 ) = 其中m , s ( s 0)是常数，则称随机变量X服从参数为 m，s2 的正态分布(或高斯分布)，记为X ~ N(m , s2 ) 特别当 m = 0, s = 1时, 其概率密度为 R x ∈ , j( x ) = j( x; 0, 1 ) = 称随机变量X 服从标准正态分布,即X ~ N(0, 1). 1. 正态分布概率密度曲线的特征 即概率曲线下总面积为1. (2)曲线关于直线 x = m 对称, 即对任意实数x 有 j(m － x; m, s2 ) = j(m + x; m, s2 ) 曲线下直线两侧的面积各为1/2, 而且 P{ m – x X ≤ m } = P{ m X ≤ m + x} 1/2 1/2 P{ m – x X ≤ m } = P{ m X ≤ m + x} σ较小 σ较大 (3)曲线x = m 处取得最大值 ,固定m , s2 越大，曲线越趋于平坦. 若X～N(2, σ2), 且P{2＜X＜4}= 0.3， 则P{0＜X}= . 2 正态分布概率的计算 若随机变量X ~ N( m, s2 )，其分布函数为 2. 若X～N(μ,σ2)，且P{X3}=P{X ＜1} 则μ= . 若随机变量X 服从标准正态分布,其分布函数记为 F(－x ) = 1－F( x ) 查表 P289的附表2 《标准正态分布表》给出了x≥0的标准正态分布函数值. （1）若随机变量X ~ N( 0, 1 )，则 P{ a X ≤ b } = F( b ) －F( a ) （2）若随机变量X ~ N( m, s 2 )，则 证明 F( x; m, s2 ) = dt = s d y 所以有 参见例子 正态分布概率计算 参见例子 分位数 电池可靠性估计 分位数 X ~ N( 0, 1), 若实数ua 使 P{ X ua } = a 则称ua为标准正态分布的对应于a 的上侧分位数.