自控理论 8-4用描述函数法分析非线性系统.pptVIP

第四节 用描述函数法分析非线性系统 二、 非线性系统的稳定性分析 奈魁斯特稳定判据的应用 三、自振荡分析 【例8-1】非线性系统如图8-27（a）所示。 解: (1)饱和非线性特性的描述函数 四. 非线性系统方框图的简化 (2) 非线性特性的串联 (3)线性部分的等效变换 * 一.系统的典型结构及前提条件 许多包含非线性元件的控制系统，经过变换及简化，都可以表示成由线性部分与非线性部分相串联的典型结构。如图8-24所示。 图8-24 非线性系统的典型结构 对于非线性系统的分析，首先考虑和关心的是系统的稳定性及能否产生自振荡。而描述函数法对系统的稳定性、产生自振荡的条件、自振荡的振幅及频率、消除自振荡的途径等问题，都给出较为符合实际的结果。 自振荡是非线性系统内部自发的持续振荡，与外加的给定信号及干扰信号无关，因而可以认为。假设自振时非线性元件的输入信号为一正弦信号，则其输出信号是一非正弦信号，其中包括基波及高次谐波。但是一般来说，高次谐波的幅值较小，且通过具有低通滤波特性的线性部分后，高次谐波将进一步被衰减。 因此，可以认为能够通过线性部分又反馈到非线性环节输入端的信号只是基波正弦信号，这个结果，恰与前面的假定相吻合。因此，自振荡时可认为系统各部分的输入输出量均是基波频率的正弦量。 在上述的条件下，可以用非线性环节的描述函数近似表示非线性环节的特性，线性环节的特性可用频率特性表示，此时非线性系统的方框图如图8-25所示。 综上所述，利用描述函数法分析系统的稳定性与自振荡的前提条件是： 图8-24 非线性系统的典型结构 描述函数法是研究非线性系统稳定性的工程近似方法，是奈魁斯特稳定判据在非线性系统中的推广应用。 描述函数N(X)是一个复变量，它的幅值及相角是输入信号幅值X的函数，将N(X)看成一个可变的增益，借用线性系统中频率特性的概念，图8-25所示系统的闭环频率特性为 闭环频率特性： 特征方程为： 1+ N(X)G(jw) =0 (8-26) 非线性特性的负倒描述函数 设非线性系统 对于某一个特定的X0及ω0，式(8-26)或式(8-27)成立，这相当于线性系统中 G(jw) = -1 的情况，会产生等幅的周期性振荡。式中-1/N(X)为描述函数的负倒特性，它相当于线性系统的临界点（-1，j0）。 在复平面上同时作出线性部分的频率特性G(jw)及非线性部分描述函数的负倒数特性 -1/N(X)，判别非线性系统稳定性的方法如下： (1)如果在复平面上, -1/N(X)曲线不被G(jw)曲线所包围,如图8-26(a)所示，则非线性系统是稳定的。 图8-26 (2)如果在复平面上，-1/N(X)曲线被G(jw)曲线所包围，如图8-26(b)所示，则非线性系统是不稳定的。 图8-26 (3)若-1/N(X)曲线与G(jw)曲线相交，如图8-26(c)所示，则非线性系统中产生周期性振荡(称为自振荡)，振荡的振幅由-1/N(X)曲线交点处对应的X值决定，振荡的频率由G(jw)曲线交点处的ω值决定。 图8-26 在应用中为了作图方便，常采用相对描述函数N0(X) 即 N(X)=K0N0(X) 图中的曲线则分别换成－1/N0(X) 与K0G(jw)，判别稳定性的方法不变。 -1 自振荡的条件： 若复平面中-1/N(X)曲线与G(jw)曲线有交点，则交点对应着等幅振荡，这个等幅振荡能否稳定地存在？也就是说，若系统受到一个瞬时扰动使振荡的振幅发生变化，系统是否具有恢复到施加扰动之前状态的能力？若可以，该等幅振荡可以稳定地存在，能够被观察到，称之为自持振荡，反之，则振荡不能稳定地存在，必然转移到其它运动状态。 a点是稳定自振点 b点是不稳定自振点 若在交点处，被G(jw)包围的-1/N(X)部分对应的振幅X值小于未包围部分对应的X值，则该交点为稳定自振点(a点)。若在交点处，被G(jw)包围的-1/N(X)部分对应的振幅X值大于未包围部分对应的X值，则该交点为不稳定自振点(b点) 。 判断自振荡的稳定性有一个简便方法： （1）当K=15时，判断自振荡的性质，求出自振荡的振幅及频率。 （2）线性部分的放大倍数K取何值时，该系统处于稳定状态。 线性部分的频率特性为 作出-1/N(x)及K=15时的G(jw)曲线，交点b2为稳定的自振点，振荡的振幅及频率可按如下方法求出： 令 Im[G(jw)]=0，得 在交点处有 当K=15时，自振荡的振幅 X≈2.