分数相等性质的数学内涵_兼及角的定义_张奠宙.pdfVIP

20 数学版 14.06 分数相等性质的数学内涵 ———兼及角的定义 ◇张奠宙 分数有一个与自然数截然不同的特点：表示形式不 ●无理数是具有相同极限的有理数列的等价类。 再唯一。 同一个分数可以有无限多种表示形式。对此，我 ●彼此全等但位置不同的三角形构成一个等价类。 国的小学数学教材一向称之为“分数的基本性质”。 我们 ●数论中的同余将整数分为若干个等价类。 是不是可以直接称之为“分数的相等性质”呢？ 这一性质 “等价类”的数学方法，也存在于日常生活现象之中。 的数学内涵又是什么呢？ 下面我们来做一点儿探讨。 对于五年级的学生，可以借助比喻，帮助他们理解“等价 小学五年级数学教材中一般都有这样的表述：分数 类”的含义（尽管不必出现这个名词）。 试举两例： 的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的 一个人 可以有很多套衣服 。 我们把某人 穿不同衣服 大小不变。 这叫作分数的基本性质。 的形象 ，都看作是同 一个人 的不同表示形式 ，不同的表 【评论】为什么要把这个性质称为基本性质？ “基本” 示形式因为本质上是同一个人 而归为一 类 。 不同的表示 在哪里？ 有什么好处？ 从来没有任何说明，只不过是一种 形式各 有各 的用处 ：上 学 穿校服 ，运 动会上穿 运 动服 ，文 习惯称呼而已。 然而，如果改称“分数的相等性质”，直截 艺表演穿演 出服 ，出外旅行穿休闲 服 。 这好像 同一个 分 了当地指出分数“相等”的特征，不是更好吗？ 数 有不同的表示形式 ，却各 有各 的用途 。 相 同的分数 ，在 【建议】把分数的基本性质改称为“分数的相等性质”。 进行加减运算 实行通分 的 时候 ，也要使用不同的表示形 评 分数的这一“相等性质”， 其数学价值在于揭示了 式 。 一般地说 ，“等价 类 ” 中不同的表示形式各 有各 的价 论 “多元表示”和“等价类”的数学思想方法。 值 。 在自然数领域，一个数只有一种表示形式。 分数就 一个学校 可以用不同的人员 作代表 。 校长 可以看作 与 不同了，一个分数有多种表示形式，而且有无限多种。 我 是最 简分数 ， 但 是 还 有许 多不同的人 可以代 表 学校 ：数 建 们“把同一个分数的所有不同表示形式，看成彼此相等 学老 师作为数学 竞 赛 的领队 可以代 表 学校 ，学生作为竞 的一个整体，就形成了一个‘等价类’”。 赛选手也 可以代表 学校 ，等等 。 议 “等价类”是一个重要的数学思想方法。 它是“分类” 小学数学里蕴含的数学思想方法， 应该注意提炼、 数学方法的引申。 分类之后，在同一类中的对象就具有 揭示。 这属于“ 四基”的内容。 如能将分数的相等性质作 某种等价性。 这在后续课程中应用极其广泛。 如： 等价类处理， 是一种推陈出新。 偶数是具有因数 的整数等价类。 “等价类”的数学思想方法，在小学里可以推广使用。 ● 2 4 例如可以用于角的定义。 下面来做一点儿分析研究。 教材没有交代，可能是为了增加严谨性。 从表面上看来， 评 平面上角的定义有三种：一是最原始而简单的做法， 似乎用射线形成了一个角的区域， 避免用线段定义角