多项式的整除性二.pptVIP

* 数学与计算机科学学院高等代数课件 * * 2.2 多项式的整除性 一、教学内容 2.2.3 带余除法 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响 二、教学目的 1．熟练运用带余除法。 2．了解系数所在的范围对整除性的影响。 三、重点、难点 多项式的整除概念，带余除法定理 定义1 ，如果存在 使得 ，则称 整除 ， 记为 2.2.2 多项式整除的基本性质 （1） （2） （3） 2.2.1 多项式的整除概念 （4） （5） （6） （7） 2.2.3 带余除法 一、整数的带余除法 定理1.4.1 设 a，b 是整数且a≠0,那么存在 一对整数 q 和 r ，使得 b=aq+r 且 0≤r|a| 满足以上条件的参数 q 和 r 是唯一确定的。 q 和 r 分别叫作以 a 除 b 所得的商和余数。 根据带余除法，给了一对整数 我们可以判断 能否整除 如果 ，那么 只能整除0； 如果 ，那么 当且仅当以 除 所得的 余数 二、多项式的带余除法 1、引例 2、带余除法定理 定理2.2.1 ，且 则存在 使得 这里或者 ，或者 并且满足上述条件的 只有一对。 注2： 注3： 注1： 分别称为 所得的 商式和余式。已知多项式 ，求出 的方法称为 带余除法。 证明： 先证定理的前一部分：存在性。 （i）若 , 或 . 则可以取 （ii）若 ,且 按降幂书写: 这里 ，并且 ，并记 有以下性质： 或者 ，或者 若是 则结论已经成立， 因为有 若是 ，不妨设 因为f(x)的首项已被消去 ，并记 有以下性质： 或者 ，或者 若是 则结论已经成立， 因为有 否则对 重复上面的过程。 如此进行，我们得出一列多项式： 及 使得 而 于是 便给出了所说的表示。 由于多项式 的次数是递降的, 故存在k使 相加得： 所以： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f x r x q x q x q k k = + + = 及 ... 1 现在证明定理的后一部分：唯一性。 那么 假设f (x)有两种符合定理中要求的表示法： 上式右边或者为零，或者次数小于 而左边或者是零，或者次数不小于 因此必须两边均为零，从而 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响 是两个数域，并且 ，那么多项式环 含有多项式环F [x]．因此Ｆ上的一个多项式 也是 上的一个多项式． ，则如果在F [x]里 不能整除 ，那么在 里 也不能整除 事实上，若 ，那么由于在F [x]里 不能整除 不能等于0．因此在 里 显然仍不能整除 假定 ，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 里，这一等式仍然成立。 但是F [x]的多项式 都是 多项式，因而在 的 于是由 的唯一性得出，在 里 也 不能整除 多项式的整除性不会因系数域的扩大而改变。