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第2章 线性系统的数学模型 第二章 线性系统的数学模型 知 识 要 点 目 录 §2.1 线性系统的微分方程 §2.2 微分方程的线性化 §2.3 传递函数 §2.4 方框图 §2.5 信号流图 §2.6 在MATLAB中数学模型的表示 小 结 三、线性定常系统微分方程的一般形式 一般情况下，描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程为 : §2.3 传递函数 2.2.2 传递函数的特点 G(s)=(s+4)/[(s+2)(s+3)(s2+2s+5)]的零极点分布图 2.2.3 典型环节的传递函数 2.4.1方框图 2.4.2系统方框图的构成 2.4.3环节间的连接 2.4.4方框图的变换和简化 结构图的变换(按代数运算规则) 1，串联 2，并联 3,负反馈 4，节点移动(信号引出点及比较点前后移动)  节点移动原则：保持节点移动前后对某一个封闭域输入输出关系不变 2.5.1信号流图的定义 2.5.2系统的信号流图 2.5.3信号流图的定义和术语 2.5.4信号流图的性质 2.5.5信号流图的绘制与简化一.信号流图的绘制 由方框图到信号流图， 有些中间变量可以不表示出来 ，如I1。 有些中间变量（位于综合点前，有输出）必须表示出来，如Ei和E， 并用单位增益 支路将它们与其他节点分开。 例二 例三.绘制R－L－C电路图的信号流图 二.信号流图的简化 （1）加法规则：n个同方向并联支路的总传输，等于各个支路传输之和，如图(a) 所示： 2.5.6信号流图的增益公式 (Mason公式) 2.6.1传递函数 2.6.2传递函数的特征根及零极点图 2.6.3 控制系统的方框图模型 2.6.4 控制系统的零极点模型 2. 实际系统均不同程度地存在非线性，但许多系统在一定条件下可近似为线性系统，故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理(如增量化法)，然后用线性理论进行分析。但应注意，不是任何非线性特性均可进行线性化处理。 3. 传递函数是经典控制理论中的一种重要的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。 4. 根据运动规律和数学模型的共性，任何复杂系统都可划分为几种典型环节的组合，再利用传递函数和图解法能较方便地建立系统的数学模型。 5. 方框图是研究控制系统的一种图解模型，它直观形象地表示出系统中信号的传递特性。应用梅逊公式不经任何结构变换，可求出源节点和汇节点之间的传递函数。信号流图的应用更为广泛。 6．利用MATLAB来进行多项式运算，传递函数零点和极点的计算，闭环传递函数的求取，方框图模型的化简等。 返回 例2.12：已知系统结构图，求传递函数。 图中的所有回路是互不接触的。 例2-13 求图示信号流图的闭环传递函数 解：系统单回环有：L1 = G1，L2 = －G2，L3 = －G1G2， L4 = － G1G2，L5 = － G1G2系统的特征式 Δ为： 前向通道有四条： P1 = -G1 Δ1=1 P2 = G2 Δ2=1 P3 = G1G2 Δ3=1 P4 = G1G2 Δ4=1 系统的传递函数为 返回 2.6 在MATLAB中数学模型的表示 控制系统的数学模型在系统分析和设计中是相当重要的,在线性系统理论中常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等,而这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统(Linear Time Invariant简记为LTI)。 单输入单输出线性连续系统的传递函数为 其中m≤n。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点,分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零,得系统的特征方程: D(s)=a0sn+a1sn－1+……+an－1s+an=0 因传递函数为多项式之比,所以我们先研究MATLAB是如何处理多项式的。MATLAB中多项式用行向量表示,行向量元素依次为降幂排列的多项式各项的系数,例如多项式P(s)=s3+2s+4 ,其输入为 P=［1 0 2 4］ 注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。 MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为 C=conv(A,B) 例如给定两个多项式A(s)=s