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第九讲 数列的通项公式 时间： 年 月 日 老师 学生： 一、兴趣导入 （Topic-in) 小包拯出生时，额头上有一个弯弯的月牙。突然有一天，月牙变成了圆圆的月亮，小包拯母亲掐指一算，原来，今天小包拯满月了。。。后来有一天醒来，小包拯母亲看到月亮不见了，叹了口气，拿出针来刻下四个字，拍拍小包拯的肩膀说：“既然月飞了，你就去精忠报国吧……” 二、学前测试 （Testing) 1、数列 [数列的通项公式] [数列的前n项和] 2、等差数列 [等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 [等差数列的判定方法] 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。 [等差数列的通项公式] 如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。 [说明]该公式整理后是关于n的一次函数。 [等差数列的前n项和] 1． 2. [说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。 [等差中项][来源:学|科|网]，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质] 1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有 对于等差数列，若，则。 也就是：，如图所示：[来源:学_科_网] 是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示： 3、等比数列 [等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。[来源:学科网ZXXK][来源:学科网]与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。 也就是，如果是的等比中项，那么，即。 [等比数列的判定方法] 定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。 [等比数列的通项公式] 如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。 [等比数列的前n项和] 当时， [等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有 对于等比数列，若，则 也就是：。如图所示： 4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：[来源:学#科#网] n项和 （1）重要公式： ； ； （2）等差数列中， （3）等比数列中， （4）裂项求和：；（） 三、 ☆考点一：观察法 1】：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ：（）（） 公式法 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是 【变式2-1】：已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式。 利用 (≥2) 已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式。（1）。 （2） 的前n项和为，数列的前n项和为，满足， 求数列的通项公式。 ☆考点四:叠加法：形如型（可以求和）已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. 满足，，求。 【变式4-2】：已知中，，求。 叠乘法：形如型（可以求积） 在数列中，已知有，()求数列的通项公式。 设{an}是首项为1的正项数列, 且- += 0 ， 求它的通项公式. 已知数列满足，求通项公式？形如型 （1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.数列{}满足,,求数列{an}的通项公式. ☆考点七:形如型 （1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 已知数列,求此数列的通项公式. 构造辅助数列法 类型一：形如,其中)型 （1）若c=1时，数列{}为等差数列; （2）若d=0时，数列{}为等比数列; （3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,得,与题设比较系数得 ,所以，所以有： 因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，