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分类号 O15 陕西师范大学学士学位论文 作 者 单 位 数学与信息科学学院 指 导 老 师 小 莉 作 者 姓 名 专 业、班 级 数学与应用数学专业级班 提 交 时 间 年月 伴随矩阵的性质及其应用 甲乙丙 (数学与信息科学学院2009级班) 指导教师 摘 要: 阶实对称自伴随矩阵进行了分类；最后指出了伴随矩阵的性质在硕士研究生考试命题中的应用． 关键词: The qualities and applications of the Adjoint Matrix JIA Yi-bing (Class 1,Grade 2009,College of Mathematics and Information Science) Advisor: Lecturer YANG Xiao-li Abstract: In this dissertation, the methods of analysis, induction and comparison are firstly employed to elaborate on the qualities of the general adjoint matrix comprehensively and systematically, secondly the qualities of a kind of special matrix, i.e., self-adjoint matrix, are explored, then the technique of equivalence classification is used to classify the order real symmetric self-adjoint matrix. Finally, the applications of the adjoint matrix and its qualities in the postgraduate examinations are indicated. Key words: adjoint matrix; self-adjoint matrix; qualities of adjoint-matrix; 在高等数学中，矩阵扮演了及其重要的角色．例如，在求解线性方程组解的过程中，人们利用矩阵不仅可以简洁明了地表示原先大型复杂的线性方程组，而且根据矩阵的性质还可以方便地判断线性方程组解的情况，甚至还可以用矩阵来表示出线性方程组的解． 伴随矩阵是人们在研究逆矩阵时引入的，利用伴随矩阵我们可以得到原矩阵的逆矩阵．而且通过对伴随矩阵的性质的研究，人们不难发现它与原矩阵之间存在许多相似之处．例如，由原矩阵的可逆性易得到所对应的伴随矩阵的可逆性，两个矩阵之间的等价、相似、合同等关系也可以被它们所对应的伴随矩阵很好的复制过去，从而通过对伴随矩阵性质的研究可以推测原矩阵的性质． 另外，在近几年的数学类硕士研究生招生考试中，有关伴随矩阵的题目也经常出现．如果考生能够了解一些有关伴随矩阵的性质，那么对他们的解题无疑会有巨大的帮助．因而，对伴随矩阵性质及其应用的研究具有重要的理论意义和应用价值． 本文首先将简单介绍伴随矩阵的定义及表示法；然后将系统论证一般伴随矩阵所拥有的共同性质，主要分为两类：其一是关于单个伴随矩阵的性质，其二是关于两个及其以上的伴随矩阵之间关系的性质；接着将对一类特殊伴随矩阵——自伴随矩阵进行研究，并成功对其分类；最后我们将结合实例指出伴随矩阵在研究生入学考试命题中所处重要的地位． 1　伴随矩阵的定义及其表示 1.1　伴随矩阵的定义 定义　设是矩阵 中元素的代数余子式，矩阵 称为的伴随矩阵． 1.2　伴随矩阵的表示 本文用表示矩阵的伴随矩阵． 2　伴随矩阵的性质及其证明 伴随矩阵拥有许多较好的性质，本文以伴随矩阵为研究对象，主要介绍一般伴随矩阵所共同拥有的性质及特殊伴随矩阵——自伴随矩阵所特有的性质．此外还对实对称自伴随矩阵进行了分类． 2.1　一般伴随矩阵性质的“共性” 一般伴随矩阵具有丰富的性质，文中以性质涉及的伴随矩阵的个数入手，将“共性”分为两类，一类是单个伴随矩阵所有的性质，另一类是两个伴随矩阵传递两个原矩阵之间关系的性质． 2.1.1　伴随矩阵的自身性质 性质2.1.1　 证明 不妨设 ． 由的定义可知： ． 根据矩阵乘法的法则可知， ． 因为(文中代表零矩阵)，所以． 推论2.1.1　若矩阵可逆，则矩阵可逆． 证明 因为矩阵可逆，所以，