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反常积分习题课 本章主要内容 反常积分的定义； 反常积分敛散性的判断; 反常积分的计算; 广义积分的性质 反常积分的定义 反常积分的定义方法是通过对定积分取极限来定义的. 分为两类反常积分:无限区间上的反常积分和瑕积分. 不定积分、定积分和反常积分中可积的含义是不同的：不定积分可积是指其能用初等函数族表示；定积分可积是指其Riemann和的极限存在；反常积分可积指的是反常积分收敛。 例题 举例说明反常积分不具有乘积可积性 若反常积分 收敛,则称f在[a,b]上平方可积.试在无穷限反常积分和瑕积分两种情况下讨论反常积分平方可积性与绝对可积性之间的关系. 反常积分敛散性的判别 充要条件: Cauchy收敛原理: ….. 非负函数反常积分的判别法: i)比较判别法及极限形式: ii)Cauchy判别法及极限形式: 一般函数反常积分的判别法: i)Abel判别法: ii)Dirichlet判别法: 例子 设f在 [a,+∞), (a1)上内闭可积, 且反常积分 收敛,证明 收敛 讨论下列反常积分的敛散性: (1) (2) (3) 例子 讨论反常积分 的敛散性.若收敛判断条件收敛还是绝对收敛? 设p0,证明反常积分 在 时发散,在 时条件收敛,在 时绝对收敛 反常积分的计算 (Euler积分) (Froullani积分) 设函数f(x)在[0,+∞]上连续,极限f(+∞)存在且有限,实数a,b0,求 反常积分的性质 (1)绝对可积的反常积分必可积. (2)与定积分不同的一个性质:两个反常积分收敛的被积函数之积的反常积分未必收敛(可积) (3)反常积分具有绝对可积性,而定积分没有绝对可积性. (3)收敛无限反常积分的被积函数在无穷远的性质: 例子(注意结论): 若 收敛,且 ,则A=0 若 收敛,且单调,则有 设 收敛,且被积函数f(x)在[a,+∞]上一致连续,则 设f(x)在[a,+∞]上可导,且 与 都收敛, 证明 * * March 28, 2012