高等代数、线性代数61集合映射线性空间的定义及简单性质.pptVIP

小结： 集合的概念我们并不陌生。这里重要的集合的表达和运算。 另外一个重要的是映射。我们要了解映射其实就是一种法则，这种法则使得集合之间的元素产生联系，我们可以说这种联系使得某个集合中的每一个元素有了自己的老师（当然也可以是其他关系）。请你们再去思考： 单射、满射和双射吧。 一、线性空间的定义 1、零元素是唯一的. 小结 我们前面知道了向量空间，她其实就是特定的线性空间。这里只是把其中的加法运算和数乘运算方面的性质抽象出来，给出了更一般的线性空间。 §2 线性空间的定义 与简单性质　　　 §3 维数·基与坐标 §4 基变换与坐标变换 §1 集合·映射 §5 线性子空间 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 §6 子空间的交与和 第六章 线性空间 一、集合 二、映射 §6.1 集合·映射 一、集合 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 当a是集合A的元素时，就说a 属于A， 记作： 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A， 记作： 1、定义 组成集合的这些事物称为集合的元素． 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． ☆ ☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质. 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来. 例1 例2 N＝ ， 2Z＝ 例3 M＝｛x | x具有性质P｝ M＝｛a1，a2，…，an｝ 2、集合间的关系 ☆ 如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是 　A的子集，记作　　　 ，（读作B包含于A） 当且仅当 ☆ 空集：不含任何元素的集合，记为φ． 注意：｛φ｝≠φ ☆ 如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称 A与 　B相等，记作A＝B . A＝B当且仅当 且 约定： 空集是任意集合的子集合. 3、集合间的运算 　交：　 ； 并： 显然有， 二、映射 设M、M′是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M′中一个唯一确定的元素a′与它对应, 则称 σ为 称 a′为 a 在映射σ下的象，而 a 称为 a′ 在映射σ下的 M到M′的一个映射，记作 : 　　　　 原象，记作σ(a)＝a′ 1、定义 ① 设映射 , 集合 称之为M在映射σ下的象，通常记作 Imσ． ② 集合M 到M 自身的映射称为M 的一个变换． 显然， 注 例1　判断下列M 到M ′对应法则是否为映射 1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3,4｝ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2　　 δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4　　 　　　　 2）M＝Z，M′＝Z＋， σ：σ(n)＝|n|, 　　　　 τ：τ(n)＝|n|＋1,　　　　　 （不是） （是） （不是） （不是） （是） σ：σ(a)＝a0，　　　　　　　　　　 4）M＝P，M′＝ ，（P为数域） τ：τ(a)＝aE， （E为n级单位矩阵） 5）M、M′为任意两个非空集合，a0是M′中的一个 　固定元素. （是） （是） 6）M＝M′＝P[x]（P为数域） σ：σ(f (x))＝f ′(x)， 　 （是） 3）M＝ ，M′＝P，（P为数域） σ：σ(A)＝|A|，　　　　　　　　 （是） 例2　M是一个集合，定义I： I(a)＝a ， 即 I 把 M 上的元素映到它自身，I 是一个映射， 例3 任意一个在实数集R上的函数 y＝f(x) 都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是 称 I 为 M 上的恒等映射或单位映射． 映射的一个特殊情形． 2、映射的乘积 设映射 ， 乘积 定义为： (a)＝τ(σ(a))　 即相继施行σ和τ的结果， 是 M 到 M 的一个 映射． ①对于任意映射 ，有　 ②设映射 ， 有 注： 3、映射的性质: 设映射 1）若 ，即对于任意 ，均存在 （或称 σ为映上的）； 2）若M中不同元素的象也不同，即 （或 ）， 则称σ是M到M′的一个单射（或称