1.2 映射和函数.pptVIP

2. 基本初等函数 (1)常数函数 O x y y=2 (2)幂函数 ( 是常数) (3) 指数函数 (4) 对数函数 (5) 三角函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 (6) 反三角函数 反正弦函数 1.3 映射和函数 1、映射的概念 定义:设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则 , 使得对X中每个元素x, 按法则 , 在Y中有唯一确定的元素 y与之对应, 则称 为从X到Y的映射,记为 其中y称为元素x(在映射 下)的像,记作 ,即 , 元素x称为元素y(在映射 下)的一个原像; 集合X称为映射 的定义域, 记作 ,即 X中所有元素的像所组成的集合称为映射 的值域, 记作 或 ,即 注意: (1) 一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域 集合Y, 即值域的范围: 对应法则 使对每个 有唯一确定的 与之对应. (2) 对每个 ,元素x的像y是唯一的; 对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的; 映射 的值域 是Y的一个子集,即 ,不一定 . 例1 设 对每个 , 这 是一个映射,其定义域 ,值域 满射： 单射： 是从集合X到集合Y的映射， 若 都是X中某元素的像. 即Y中任一元素y 若对X中任意两个不同元素 它们的像 双射： 若映射 既是单射，又是满射. 注:几类特殊映射 映射又称为算子. 根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称. 如: 从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函. 从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换. 从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X 上的函数. 2.函数概念 因变量 自变量 定义 设数集 ，则称映射 为定义D上的函数，通常简记为 D称为定义域, 记作 , 即 . 对每个 ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之对应, 这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f (x),即y= f (x). 函数值f (x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域, 记作 或 f (D) , 即 函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内. 函数的三要素: 定义域 与对应法则f . 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值. 函数相等：如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的. 常见的几种函数 例2 常数函数 y=2 它的定义域 值域 它的图形是一条平行 于x轴的直线. O x y y=2 例3 函数 定义域 D=(－∞,+∞),值域 =[0, +∞). 这个函数称为绝对值函数. O x y 1 -1 x y o 例4 函数 称为符号函数,定义域 D=(－∞,+∞),值域 ={1,0,－1}. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 [x]表示不超过 的最大整数 例5 取整函数 y=[x] 如[-3.4]=-4,[－1]=－1, 定义域 D=(－∞,+∞), 值域 =Z. 例6 函数 是一个分段函数. 它的定义域 D=[0,+∞). 如: y x O 1 3. 函数的几种特性 (1) 函数的有界性: o y x M -M y=f(x) X 有界 M -M y x o X 无界 则称函数 若 有 成立， f (x)在X上有界.否则称为无界. (2)有界与否是和X有关的. (1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的. 注意: 使 (3)证明无界的方法: 对于任意正数 M ,总存在 (2) 函数的单调性: x y o 及 设函数f (x)的定义域为D, 区间 如果对于区间I上任意两点 当 时,恒有 则称函数f (x)在区间I上是单调增加的; x y o 及 设函数f (x)的定义域为D, 区间 则称函数f (x)在区间I上是单调减少的; 如果对于区间I上任意两点 当 时,恒有 (3) 函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x 设函数f (x)的定义域为D关于原点对称,对于 有f (-x)= f (