第五章基本方程.ppt

半空间问题上的应用 指出： 圣维南原理的应用范围: 截面为单连域(实体）应用圣维南原理处理是可行的。 对多连域薄壁构件?? 自相平衡的力系 所作用的范围应 比该受力处物体 的最小尺寸小。 在自相平衡的 两个外力作用 下，所产生的 应力和变形显 然不是局部 的，圣维南原理不适用。 圣维南原理的应用条件 1、必须用等效力系代替。 2、载荷区域必须比物体的最小尺寸为小（小边界上) 举例 边界条件 σij|s lj = fi 应 边 特例--边界面与坐标轴平行时 如果边界面正好和坐标平面平行，则立即可得到应力应满足的条件。 特殊边界条件 在外力作用下，我们从物体从中取出的单元体位于边界处，则单元体内部应力形成的内力和边界上的外力平衡。 边界面与坐标轴平行时 (1)左右两面： (2)在上下两面 A.在边界上，应力分量的边界值 等于对应的面力分量,且当边界的 外法线沿坐标轴正向时，两者正负 号相同,当边界的外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。 B.边界上的面力转变为应力分量 其正负号规定:正面正向、负面负向 为正，其余为负。 x y A.在边界上，应力分量的边界值 等于对应的面力分量,且当边界的 外法线沿坐标轴正向时，两者正负 号相同,当边界的外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。 B.边界上的面力转变为应力分量 其正负号规定:正面正向、负面负向 为正，其余为负。 [例1] 小锥度杆承受轴向拉力。利用边界条件证明，横截面上， 除正应力 外，还有剪应力 。并确定边界上 、 与 的关系。 解： 由 P y o y ? ? n 例1 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。 左侧面： 代入应力边界条件公式 右侧面： 代入应力边界条件公式，有 上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。 y方向力等效： 对O点的力矩等效： x方向力等效： 注意： 必须按正向假设！ x y 上端面： （方法2） 取图示微元体， 可见，与前面结果相同。 注意： 必须按正向假设！ 由微元体的平衡求得， [例2]写出应力边界条件。液体比重? 解（1）右边界（x=0） （2）左边界（x=ytg?） y n O x y ? ? ? O x 由： y y ?y ? n ? 第四节、弹性力学简单问题的求解 逆解法、半逆解法是基本的常用的方法： 逆解法：首先根据基本方程的特点找出能满足方程的一组解，然后代入边界条件检验，判断是否为正确解。 半逆解法：根据边界条件特点或对应力、应变和位移状态分布趋势的判断，假设能满足部分边界条件和域内方程的未知函数，并由其它边界条件和域内方程导出其余未知函数。 简单问题：应力及应变是物体中的点坐标的线性函数或是常数值的问题。此时，当体积力为零时，应力恒满足Beltrami-Michell相容性条件，只剩下平衡方程和边界条件需要处理。 例题1 正六面体不受体力作用，但各表面受均匀压力p作用。 这个问题为（相当于）静水压力问题 采用应力法及逆解法，猜应力：?x=?y=?z=-p，?xy=?yz=?zx=0；应力解是否满足力的边界条件?是否为真解?它须满足平衡微分方程和应力表示变形协调方程 解：1）设应力：?x=?y=?z=-p 2）检查是否满足平衡微分方程 满足 3）检查是否满足应力表示的变形协调方程（无体力时） 满足 ?xy=?yz=?zx=0 ?ji,j+Fi =0 变形协调方程 6个 物理方程 6个 其中 附：用张量推导 若（a）式中取 求和后得 上式是关于i，j=1，2，3方程，因应力张量对称， 独立方程为6个 上式为 (b) 注意到： （5-2-4b） 展开： （5-2-4c） 应力表示的协调方程 或 （5-2-4c） （5-2-4d） 应力法可归结为：在给定的边界条件下，求解下列方程 边界条件 σij|s lj = fi 位移边界条件 应力边界条件 由于位移边界条件一般难于化为应力边界条件，因此只能解应力边界条件，不能解位移边界和混合边界条件 应力解法: 应力解法——在给定的边界条件下求解由平衡方程与应力协调方程组成的偏微分方程组。 平衡方程 应力协调方程 静力边界条件 σij|s lj = fi 求解 应力 分量 代入本 构方程 应变分量εij 代入几何方程积分 位移分量ui 对于全部边界给定外力的边值问题，应力解法可以 避开几何关系直接解出工程中关心的应力分量。 三、基本方程的意义 弹性力学基本方程建立了弹性力学问题的数学模型，为求解弹性力学奠定了基础。虽然这些方程的直接求解十分困难，只有小部分可以得到分析解，这些解已经