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7.3-7.5 连续映射与距离空间的完备性
第1页 第三节 连续映射与距离空间的完备性 • 距离空间的完备性 实数 的完备性 •一般距离空间的完备化 第2页 第三节 距离空间上的连续映射 1 连续映射定义 定义 (映射连续,一致连续) 设(X , )与(Y, )是两个距离空间, 1 2 映射T:XY, x X 0 (1) 如果对 0, 0,使得当(x, x ) 时,有 (Tx, Tx ) , 0 1 0 则称映射T在x 点连续. 0 (2) 若映射T在X 上处处连续(即T在X 中每一点都连续), 则称映射 T在X 上处处连续, 也称映射T为距离空间X 上的连续映射. (3) 如果对 0, 0, x , x X , 当 (x ,x ) 时, 有 (Tx ,Tx ) , 1 2 1 2 1 1 2 则称映射T在X 上一致连续. 特别地, 如果Y R, 则称映射T为距离空间X 上的连续泛函数, 此时T记作f ,而x 的象记作f (x). 第3页 例1 设(X ,)是距离空间, x X , 则f (x) (x, x )是连续函数. 0 0 证: 0, x,y X , (f (x),f (y )) |(x,x )−(y,x )|(x,y ) 1 0 0 取 0, 当 (x,y ) 时, 就有 (f (x),f (y )) , f (x) 连续. 1 第4页 2 映射连续的充要条件 定理1. 设X, Y是两个距离空间，T:XY，x X , 则 0 T在x 连续 S(Tx , ), S(x , ),使得T(S(x ,)S(Tx ,) 0 0 0 0 0 {x }X : x x , 有Tx Tx . n n 0 n 0 证: (1)(2) T在x 连续 0, 0, 使得当 (x, x ) 时, 0 0 有 (Tx,Tx ) S(Tx ,), S(x ,), 当x S(x , )时,
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