【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1+2 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明贝努利等式课后知能检测 新人教B版选修4-5.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.2.1+2 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明贝努利等式课后知能检测 新人教B版选修4-5 一、选择题 1．利用数学归纳法证明不等式“n22n对于n≥n0的正整数n都成立 ”时，n0应取值为(　　) A．1　　　　B．3　　　　C．5　　　　D．7 【解析】　1221,22＝22,3223,42＝24,5225，利用数学归纳法验证n≥5，故n0值为 5. 【答案】　C 2．对于不等式n＋1(nN＋)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，1＋1, 不等式成立． (2)假设当n＝k(kN＋)时，不等式成立，即k＋1， 则当n＝k＋1时，＝＝＝(k＋1)＋1， 当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 【解析】　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法． 【答案】　D 3．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述记录，可推测出一般结论(　　) A．f(2n) B．f(n2)≥ C．f(2n)≥ D．以上都不对 【解析】　f(2)＝；f(4)2，即f(22)；f(8)，即f(23)；f(16)3，即f(24)；f(32)，即f(25).故猜想f(2n)(n≥2)． 【答案】　C 4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋(n≥2，nN＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边(　　) A．增加了一项 B．增加了两项、 C．增加了两项、，但减少了一项 D．以上各种情况均不对 【解析】　n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋， 增加了两项、，少了一项. 【答案】　C 二、填空题 5．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(nN＋)”时，第一步的验证为________． 【解析】　当n＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立． 【答案】　21＋1≥12＋1＋2 6．观察式子：1＋，1＋＋，1＋＋＋，…，则可归纳出________． 【答案】　1＋＋＋…＋(n≥2，nN＋) 三、解答题 7．试证明1＋＋＋…＋2(nN＋)． 【证明】　(1)当n＝1时，不等式成立． (2)假设n＝k(k≥1，kN＋)时，不等式成立，即 1＋＋＋…＋2. 那么n＝k＋1时， ＋ 2＋＝ ＝2. 这就是说，n＝k＋1时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知，不等式对nN＋成立． 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． (1)判断{}是否为等差数列，并证明你的结论； (2)证明S＋S＋…＋S≤－. 【解】　(1)S1＝a1＝，＝2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1， 即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. －＝2. 故{}是以2为首项，2为公差的等差数列． (2)证明：当n＝1时，S＝＝－，不等式成立． 假设n＝k(k≥1，且kN＋)时，不等式成立，即S＋S＋…＋S≤－成立， 则当n＝k＋1时，S＋S＋…＋S＋S≤－＋＝－[－] ＝－·－·＝－. 即当n＝k＋1时，不等式成立． 由，可知，对任意nN＋不等式成立． 9．已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，且an＋1≥f′(an＋1)，证明：an≥2n－1(nN＋)． 【证明】　由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝x2－1. 因此an＋1≥f′(an＋1)＝(an＋1)2－1＝an(an＋2)． (1)当n＝1时，a1≥1＝21－1，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，且kN＋)时，不等式成立，即ak≥2k－1. 当n＝k＋1时， ak＋1≥ak(ak＋2)≥(2k－1)(2k－1＋2)＝22k－1. 又k≥1，22k≥2k＋1， n＝k＋1时，ak＋1≥2k＋1－1，即不等式成立． 根据(1)和(2)知，对n∈N＋，an≥2n－1成立． 教师备选 10．求证：当n≥1(nN＋)时，(1＋2＋…＋n)(1＋＋＋…＋)≥n2. 【证明】　(1)当n＝1时，左边＝右边，命题成立． 当n＝2时，左边＝(1＋2)(1＋)＝22，命题成立． (2)假设当n＝k(kN＋，且k≥2)时，命题成立， 即(1＋2＋…＋k)(1＋＋…＋)≥k2， 则当n＝k＋1时，有 左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)][(1＋＋…＋)＋] ＝(1＋2＋…＋k)(1＋＋…＋)＋(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)×(1＋＋…＋)＋1 ≥k2＋＋1＋(k＋1)(1＋＋…＋)． 当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，(*) 左边≥k2＋＋1＋(k＋1)× ＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.