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【与名师对话】2015高考数学课时作业5 文(含解析)北师大版
课时作业(五)
一、选择题
1.(2012年青岛一模)已知a0,b0,且2a+b=4,则的最小值为 ( )
A. B.4 C. D.2
解析:由2a+b=4,得2≤4,即ab≤2,
又a0,b0,所以≥.
当2a=b,即b=2,a=1时,取得最小值.故选C.
答案:C
2.(2012年东北六校联考)若M=(aR,a≠0),则M的取值范围为 ( )
A.(-∞,-4][4,+∞) B.(-∞,-4]
C.[4,+∞) D.[-4,4]
解析:M==a+,当a0时,M≥4;当a0时,M≤-4,M的取值范围为(-∞,-4][4,+∞),故选A.
答案:A
3.(2012年合肥模拟)若正实数a,b满足a+b=1,则 ( )
A.+有最大值4 B.ab有最小值
C.+有最大值 D.a2+b2有最小值
解析:由均值不等式,得ab≤=,所以ab≤,故B错;+==≥4,故A错;由均值不等式得≤ = ,即+≤,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,故D错.
答案:C
4.(2012年兰州一模)已知p=a+(a2),q=(xR),则p,q的大小关系为 ( )
A.p≥q B.pq C.pq D.p≤q
解析:p=a+=(a-2)++2≥4,当且仅当a=3时等号成立;q=≤-2=4,当且仅当x=0时等号成立.显然,p≥q.
答案:A
5.(2013年长春调研)已知x0,y0,且+=1,若x+2ym2+2m恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4
C.-2m4 D.-4m2
解析:x0,y0,且+=1,
x+2y=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=2y时取等号,又+=1,x=4,y=2,(x+2y)min=8,要使x+2ym2+2m恒成立,只需(x+2y)minm2+2m,即8m2+2m,解得-4m2.
答案:D
6.(2013年衡阳质检)将一根钢管锯成三段,焊接成一个面积为1 m2,形状为直角三角形的框架,有下列四种长度的钢管供选用,其中最合理(够用且最省)的是 ( )
A.4.7 m B.4.8 m C.4.9 m D.5 m
解析:设直角三角形的两直角边分别为a,b,则斜边为.又三角形的面积为1,ab=2,
三角形的周长为a+b+≥2+=2+2≈4.828,当且仅当a=b=时取等号,故选C.
答案:C
二、填空题
7.若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值为________.
解析:由x2+y2+xy=1,得(x+y)2-xy=1,
即xy=(x+y)2-1≤,所以(x+y)2≤1,
故-≤x+y≤,
当x=y时“=”成立,所以x+y的最大值为.
答案:
8.(2012年西安一模)函数y=loga(x+3)-1(a0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn0,则+的最小值为________.
解析:y=loga(x+3)-1恒过点(-2,-1),A(-2,-1),又A在直线上,-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn0,m0,n0.而+=+=2++2+≥4+2=8.当且仅当=,即n=,m=时取“=”,+的最小值为8.
答案:8
9.(2012年茂名期末)下列结论中,正确的序号有________(写出所有正确结论的序号).
当x0且x≠1时,lg x+≥2;
当x≥2时,x+的最小值为2;
当x0时,+≥2;
当0x≤2时,x-的最大值是.
解析:当x0时,lg x仍可能是负数,不正确;
若x0,当x=,即x=1时,x+才取最小值2,不正确;
由基本不等式可得+≥2=2,当=,即x=1时取等号,正确.
当0x≤2时,y=x-是递增的函数,其最大值是f(2)=2-=,正确.
答案:
三、解答题
10.(1)已知x0,求f(x)=2++x的最大值;
(2)已知x1,求f(x)=x+的最小值;
(3)已知0x,求y=2x-5x2的最大值.
解:(1)x0,-x0,
f(x)=2++x=2-.
-+(-x)≥2=4,
当且仅当-x=,即x=-2时等号成立.
f(x)=2-≤2-4=-2,
f(x)的最大值为-2.
(2)x1,x-10,
f(x)=x+=x-1++1
≥2 +1=2+1=3.
当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.
f(x)的最小值为3.
(3)y=2x-5x2=x(2-5x)=·5x·(2-5x),
0x,5x2,2-5x0,
5x(2-5x)≤2=1,
y≤,当且仅当5x=2-5x,
即x=时,ymax=.
11.已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,
求证:++≥9.
证明:a0,b0,c0,且a+b+c=1,
++=++
=3++++++
=3+++
≥3+2+2
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