第四章第6讲函数y=Asin(ωxφ)的图象及三角函数模型的简单应用.docVIP

第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及　 三角函数模型的简单应用 1．“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图的一般步骤为： (1)定点：如下表所示． x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象． 2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义 当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相． 由图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的一般步骤： 由函数的最值确定A的值； 由函数的周期来确定ω的值； 由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于φ的方程，再由φ的范围得φ的值．也可以由起始点的横坐标得φ的值． 1．(必修4 P57A组T1(1)改编)要得到函数y＝cos(x＋1)，xR的图象，只需把y＝cos x(xR)上的所有点(　　) A．向左平移π个单位长度 B．向右平移π个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 答案：C 2．(必修4 P55练习T2(1)改编)为了得到函数y＝3sin的图象，只需将y＝3sin的图象上的所有点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选D.y＝sin＝sin，故选D. 3．(必修4 P56练习T2(3)改编)为了得到y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点(　　) A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度 C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度 解析：选B.将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍，将y＝3sin 2x的图象，再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B. 4．(必修4 P60例2改编)关于函数f(x)＝|sin x|的下列结论中，正确的序号为________(把正确的序号全填上)． f(x)是偶函数，图象关于y轴对称； 周期T＝π； 它的一个单调增区间为； 当x[0,2π]时，其图象与x轴围成的平面图形的面积为2π. 解析：f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，正确； 又f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x| ＝f(x)，周期T＝π，正确； f(x)＝|sin x|＝ f(x)在上是减函数，在上是增函数，错误； 函数f(x)＝|sin x|x[0,2π]与x轴围成的面积为S＝＝2(－cos x)＝2×(1＋1)＝4.④错误． 答案：①② 　　　　　　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与变换　 已知f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω0)离y轴最近的一条对称轴为x＝. (1)求f(x)的周期； (2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到． [解]　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx ＝2＝2sin， 由题意得ωx＋＝，∴ω＝2， 即f(x)＝2sin.周期T＝＝π. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X. 列表：并描点画出图象． x － X 0 π 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 0 2 0 －2 0 (3)法一：把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝ sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象． 法二：将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin＝ sin的图象；再将y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y＝2sin的图象． 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种作法： ①五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，