答案数值计算与M12-13学年第2学期试卷A-8开.docVIP

天津大学试卷专用纸 学院 专业 班 年级 学号 姓名 A卷2012～2013学年第二学期期末考试试卷 《数值计算方法与Matlab》 (卷 共页 ) 2012年6月10日） 题号 一 二 三 成绩 核分人签字 得分 一、填空题：（共42分,3分）按要求把正确的答案填在每题中的横线上方。 1.，，则它们分别有几位有效数字，5，2，的绝对误差限为。 2. n+1点插值型数值积分公式的代数精度，最高不超过2n+1。， 。 3. 已知函数在2.5，2.7和2.9处的函数值分别为12.1825，14.8797和18.1741。若用三点数值微分公式计算，则在x = 2.7处的函数一阶和二阶导数的近似值分别为和（保留5位有效数字）。 ，。 4. 设是在互异节点（k = 0,1,…, n）上的三次样条函数，要想确定此三次样条函数，共需要几个定解条件：，其中自然边界条件是指。4n个，。 5. 建立常微分方程初值问题，的计算格式有三种基本方法，它们是；数值微分法、 Talyor展开法、数值积分法。 6. 设是区间上权的最高次项系数为1的正交多项式序列，则。 7. 已知函数的三对数据(0,1)，(-1，5)（2，-1），则二阶差商，过此三点的Lagrange插值多项式为。多项式为 8. 设，其中, ，则（精确值）。当b有误差（）时，引起解向量x的为误差( x ，则的上界为 。 8，上界为 8(2 。 二、解下列各题：（共36分, 每小题9分） 1. 确定求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所确定的求积公式的代数精度。 解：首先令，分别代入求积公式中，使其精确地成立，得关于系数的方程： (5分) 解得，，。 ( 7分) 将的上述值代回积分公式，得。 再令，代入积分公式得：左边 = 32/5，右边 = ，左边不等于右边，所以最大次数是2。 ( 9分) 天津大学试卷专用纸 学院 专业 班 年级 学号 姓名 A卷 共页2. 写出解下列方程组的Gauss-Seidel法迭代公式的分量形式，并考察此方法当常数为何值时收敛与发散。 解：Gauss-Seidel法迭代法的分量形式如下： （*） （6分） 其迭代矩阵为 （8分） 由特征多项式，所以的谱半径，由此即知格式（*）收敛充要条件为。（9分） 3. 设的函数数据表如下: xk 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 yk 1.00000 0.99500 0.98007 0.95534 0.92106 0.87758 0.82534 利用四次插值多项式计算和的近似值（保留5位有效数字）。 3. 解: 首先构造差分表如下: xk yk Δy Δ2y Δ3y Δ4y 0.0 1.00000 -0.00500 -0.00993 0.00013 0.00012 0.1 0.99500 -0.01493 -0.00980 0.00025 0.00010 0.2 0.98007 -0.02473 -0.00955 0.00035 0.00009 0.3 0.95534 -0.03428 -0.00920 0.00044 0.4 0.92106 -0.04348 -0.00876 0.5 0.87758 -0.05224 0.6 0.82534 (4分) 从差分表中可以看出四阶差分近似为常数，所以可取四次插值的结果作为近似值。因x=0.048介于0.0与0.1之间,故取x0=0.0,此时h=0.1，t=(x-x0)/h=(0.048-0.0)/0.1 =0.48。利用四次Newton 前插公式有: （9分） B因x=0.575位于表末, 故取xn = x6= 0.6,此时h=0.1，t=(x-xn)/h=(0.575-0.6)/0.1=- 0.25. 利用四次Newton 后插公式有: （9分） 4. 利用Gauss-Legendre三点求积公式计算积分（保留5位有效数字）。 解：令，（2分） 则 （4分） （8分） 。 （9分）